Cho hai đường thẳng song song a, b và một đường thẳng c (c cắt a tại E, c cắt b tại F). Hai tia phân giác của các góc aEF và bFE cắt nhau tại I. Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng a và b (Hình 52).

Chứng minh:

a) Tam giác EIF là tam giác vuông;

a) Tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CBA}=90°-\widehat{CAB}=90°-60°=30°$ .

Tam giác EBK vuông tại K có $\widehat{KEB}+\widehat{KBE}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{KEB}=90°-\widehat{KBE}=90°-30°=60°$ .

• Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên $\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\frac{1}{2}\widehat{CAB}=\frac{1}{2}.60°=30°$ .

Tam giác ACE vuông tại C có $\widehat{CEA}+\widehat{CAE}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CEA}=90°-\widehat{CAE}=90°-30°=60°$

Do đó $\widehat{DEB}=\widehat{CEA}=60°$  (hai góc đối đỉnh).

Ta có $\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$  (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.

• Ta có $\widehat{KEA}+\widehat{KED}=180°$  (hai góc kề bù)

Hay $\widehat{KEA}+\widehat{KEB}+\widehat{BED}=180°$

Suy ra $\widehat{KEA}=180°-\widehat{KEB}-\widehat{BED}=180°-60°-60°=60°$ .

Do đó $\widehat{KEA}=\widehat{KEB}$  (cùng bằng 60°).

Nên EK là tia phân giác của góc BEA.

Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.

a) • Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$ .

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = AB.

Vì D là trung điểm của AC nên AD = CD = AC.

Mà AB = AC nên AE = EB = AD = CD.

Tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng đi qua G.

Hay ba điểm A, G, M thẳng hàng.

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

Suy ra  $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$(hai góc tương ứng).

Xét ∆AEG và ∆ADG có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{EAG}=\widehat{DAG}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ ),

AG là cạnh chung

Do đó ∆AEG = ∆ADG (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AGE}=\widehat{AGD}$  (hai góc tương ứng).

Do vậy GA là tia phân giác của góc DGE.

• Ta có $\widehat{BGM}=\widehat{AGD},\widehat{CGM}=\widehat{AGE}$  (các cặp góc đối đỉnh)

Mà $\widehat{AGE}=\widehat{AGD}$

Nên $\widehat{BGM}=\widehat{CGM}$

Do đó GM là tia phân giác của góc BGC.

• Xét ∆AME và ∆AMD có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{E\text{A}M}=\widehat{DAM}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ ),

AM là cạnh chung,

Do đó ∆AME = ∆AMD (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AME}=\widehat{AMD}$  (hai góc tương ứng)

Nên MA là tia phân giác của góc EMD.

Vậy GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.