b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để EG là tia phân giác của góc DEM.

b) • Xét DABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{CAB}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$  nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$   (1)

Ta có AE = AD (chứng minh câu a).

Nên tam giác AED cân tại A.

Suy ra $\widehat{AE\text{D}}=\widehat{ADE}$

Xét DADE có $\widehat{ADE}+\widehat{AE\text{D}}+\widehat{DA\text{E}}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{AE\text{D}}=\widehat{ADE}$  nên  $\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AED}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Do đó ED // BC.

Nên $\widehat{DEC}=\widehat{ECM}$  (hai góc so le trong)                                      

• Để EG là tia phân giác của góc DEM thì  $\widehat{ECM}=\widehat{CEM}$

Suy ra $\widehat{ECM}=\widehat{CEM}$  nên tam giác MEC cân tại M.

Do đó ME = MC

Mặt khác, MB = MC nên ME = MB = MC.

Suy ra tam giác EMB cân tại M nên $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$ .

• Xét DEBC có $\widehat{BEC}+\widehat{BCE}+\widehat{EBC}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Hay $\widehat{BEC}+\widehat{MCE}+\widehat{MBE}=180°$

Mà $\widehat{MEC}=\widehat{MCE}$  và $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$

Nên $\widehat{BEC}+\widehat{MEC}+\widehat{MEB}=180°$  hay  $\widehat{BEC}+\widehat{BEC}=180°$

Suy ra $2\widehat{BEC}=180°$

Do đó $\widehat{BEC}=\frac{180°}{2}=90°$  nên  $\widehat{AEC}=90°.$

• Xét ∆BEC và ∆AEC có:

$\widehat{BEC}=\widehat{AEC}$  (cùng bằng 90°),

EC là cạnh chung,

BE = AE (chứng minh câu a)

Do đó ∆BEC = ∆AEC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra BC = AC.

Mà AB = AC (chứng minh câu a).

Do đó AB = BC = AC nên tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy điều kiện để EG là tia phân giác của góc DEM là tam giác ABC là tam giác đều.