b) Đi qua điểm B(4; −1) và vuông góc với đường thẳng d₃: 3x − y + 1 = 0.

a) Vì d₁ song song với d₂: x + 3y + 2 = 0 nên d₁ nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng d₁ đi qua điểm A(2; 3) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x − 2) + 3(y − 3) = 0 ⇔ x + 3y − 11 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng d₁ là x + 3y − 11 = 0.

Hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂: 4x − 3y + 12 = 0 đều có vectơ pháp tuyến là :$\overrightarrow{n}$  = (4 ; −3)

Suy ra d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy A(0; 4) ∈ d₂. Thay tọa độ của A vào d₁ ta có: 4.0 – 3.4 + 2 = −10 ≠ 0 ⇒ A ∉ d₁.

Vậy d₁ và d₂ song song với nhau.

Khi đó khoảng cách từ A đến d₁ chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Ta có d(A, d₁) = $\frac{|4.0-3.4+2|}{\sqrt{4^2+{(-3)}^2}}=\frac{10}{5}$ = 2.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 2.