Chứng minh rằng: $2^{1999} < 7^{714}$ .

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $2^{10} = 1024; 7^{3} = 343$

\Rightarrow 2^{10} < {3.7}^{3} \Rightarrow {(2^{10})}^{238} < 3^{238} . {(7^{3})}^{238}

$\Rightarrow 2^{2380} < 3^{238} {.7}^{714}$ (1)

Xét: $3^{238} = 3^{3} {.3}^{235} = 3^{3} . {(3^{5})}^{47} < 3^{3} . {(2^{8})}^{47} < 2^{5} {.2}^{376} = 2^{381}$ (vì 3⁵<2⁸)

$\Rightarrow 3^{238} < 2^{381}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $2^{^{2380}} < 2^{381} {.7}^{714}$

\Rightarrow 2^{1999} < 7^{^{714}}

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $4^{30} = {(2^{2})}^{30} = {(2.2)}^{30} = 2^{30} {.2}^{30} = {(2^{3})}^{10} . {(2^{2})}^{15} = 8^{10} {.4}^{15}$ ,

$24^{10} .3 = {(8.3)}^{10} .3 = 8^{10} {.3}^{10} .3 = 8^{10} {.3}^{11}$

Vì $3^{11} < 4^{15} \Rightarrow 8^{10} {.3}^{11} < 8^{10} {.4}^{15}$ $\Rightarrow 4^{30} > {3.24}^{10}$

$\Rightarrow 2^{30} + 3^{30} + 4^{30} > {3.24}^{10}$ .

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

8^{5} = 2^{15} = {2.2}^{14}, {3.4}^{7} = {3.2}^{14}

. Vì

2 < 3 \Rightarrow {2.2}^{14} < {3.2}^{14} \Rightarrow 8^{5} < {3.4}^{7} .

Câu 3