Một con đường quốc lộ có vị trí với hai điểm dân cư A và B như hình vẽ dưới đây.

Hãy tìm trên đường quốc lộ đó một địa điểm C để xây dựng trạm y tế sao cho trạm y tế cách đều hai điểm dân cư A và B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo bất đẳng thức ta có:

BC – AB < AC < BC + AC

Hay 30 – 18 < AC < 30 + 18

Suy ra 12 < AC < 48

Nếu đặt ở khu vực A một thiết bị phát wifi đảm bảo cả hai khu vực B và C đều nhận được tín hiệu thì bán kính hoạt động cần lớn hơn khoảng cách AB và AC.

Do đó trong các bán kính hoạt động của thiết bị phát wifi được nêu ở các phương án thì bán kính hợp lí là 48 m.

Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Ta xét (I):

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có \(GB = \frac{2}{3}BE\) và \(GC = \frac{2}{3}CF\).

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra \(\frac{2}{3}BE + \frac{2}{3}CF > BC\).

Hay \(\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC\).

Do đó \(BE + CF > \frac{3}{2}BC\) (1).

Chứng minh tương tự ta được:

+) \(AD + BE > \frac{3}{2}AB\) (2).

+) \(AD + CF > \frac{3}{2}AC\) (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

\(2AD + 2BE + 2CF > \frac{3}{2}AB + \frac{3}{2}BC + \frac{3}{2}AC\).

Suy ra \(2\left( {AD + BE + CF} \right) > \frac{3}{2}\left( {AB + BC + AC} \right)\).

Do đó \(AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right)\).

Vậy (I) đúng.

• Ta xét (II):

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’,

\(\widehat {ADB} = \widehat {A'DC}\) (hai góc đối đỉnh),

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC),

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được:

AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

+) 2BE < AB + BC (5).

+) 2CF < AC + BC (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:

2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy (II) đúng.

Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.

Ta chọn phương án C.