Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng CD = 60 m, giả sử chiều cao của giác kế là OC = 1 m. Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhìn thấy đỉnh A của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc $\widehat{AOB}$  = 60°. Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây:

Đáp án đúng là: A

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có $\widehat{CAB}=90°-30°=60°$ , $\widehat{ABC}=90°+15°{30}^{\text{'}}=105°{30}^{\text{'}}$ và AB = 70.

Theo định lí tổng ba góc trong tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=180°-\left(60°+105°{30}^{\text{'}}\right)=14°{30}^{\text{'}}.$

Theo định lí sin trong tam giác ABC, ta có  $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$ hay $\frac{AC}{\sin 105°{30}^{\text{'}}}=\frac{70}{\sin 14°{30}^{\text{'}}}$ .

Do đó $AC=\frac{70.\sin 105°{30}^{\text{'}}}{\sin 14°{30}^{\text{'}}}\approx \mathrm{269,4}\text{ m}.$

Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc 30° nên $CH=\frac{AC}{2}=\frac{\mathrm{269,4}}{2}=\mathrm{134,7}\text{\hspace{0.17em} m}\approx \text{135\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}m.}$

Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m.

Đáp án đúng là: B

Từ hình vẽ, suy ra $\widehat{BAC}$ = 50° – 40° = 10° và $\widehat{ABD}=180°-\left(\widehat{BAD}+\widehat{ADB}\right)=180°-\left(50°+90°\right)=40°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}\Rightarrow AC=\frac{BC.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{BAC}}\text{=}\frac{5.\sin 40°}{\sin 10°}\approx \mathrm{18,5}\text{ m}$

Trong tam giác vuông ADC, ta có $\sin \widehat{CAD}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow CD=AC.\sin \widehat{CAD}=\mathrm{11,9}\text{ m.}$

Suy ra CH = CD + DH = 11,9 + 7 = 18,9 m ≈ 19 m.

Vậy chiều cao tòa nhà khoảng 19 m.