Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng ∆: x + y = 3. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến ∆ bằng giá trị nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\). Suy ra \(c = \sqrt 3 \).

Khi đó c² = 3.

Vì vậy a² – b² = 3.

Do đó a² = b² + 3.

Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).

Ta có \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)\).

Suy ra \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1\)

⇔ 4b² + 3a² = 4a²b²

⇔ 4b² + 3(b² + 3) = 4b²(b² + 3)

⇔ 4b⁴ + 5b² – 9 = 0

⇔ b² = 1 hoặc \({b^2} = - \frac{9}{4}\) (vô lí)

⇔ b = 1.

Với b = 1, ta có a² = 1² + 3 = 4.

Vậy phương trình chính tắc của (E): \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có 2a gấp đôi 2b. Suy ra 2a = 4b.

Khi đó a = 2b.

Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b > 0.

Ta có M(2; –2) ∈ (E).

Suy ra \(\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

⇔ 4b² – 4a² = a²b²

⇔ 4b² – 4.(2b)² = (2b)².b²

⇔ 4b⁴ – 12b² = 0

⇔ b² = 0 hoặc b² = 3

⇔ b = 0 hoặc \(b = \sqrt 3 \)

Vì b > 0 nên ta loại b = 0.

Với \[b = \sqrt 3 \], ta có \(a = 2\sqrt 3 \).

Vậy phương trình chính tắc của (H): \(\frac{{{x^2}}}{{12}} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\).

Do đó ta chọn phương án C.