Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}{\rm{       khi   }}x \ne 0\\\frac{1}{4}{\rm{                     khi    }}x = 0\end{array} \right.\]. Khi đó \[f'\left( 0 \right)\]là kết quả nào sau đây?

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có

\[\begin{array}{l}{ \bullet _{}}f\left( 2 \right) = 4\\{ \bullet _{}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2} = 4\\{ \bullet _{}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} \right) = 2b - 8\end{array}\]

\[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \(x = 2\) khi và chỉ khi \[f\left( x \right)\] liên tục tại \(x = 2\)

     \[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2b - 8 = 4 \Leftrightarrow b = 6.\]

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ({x^2} + x) = 2\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (ax + b) = a + b\]

Hàm có đạo hàm tại \[x = 1\] thì hàm liên tục tại \[x = 1\] \[ \Leftrightarrow a + b = 2\] (1)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + 2) = 3\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ax + b - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ax - a}}{{x - 1}} = a\](Do\[b = 2 - a\])

Hàm có đạo hàm tại \[x = 1\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\end{array} \right.\].