Xét ba mệnh đề sau:

     (1) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm \[x = {x_0}\]thì \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm đó.

     (2) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[x = {x_0}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.

     (3) Nếu \[f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x = {x_0}\] thì chắc chắn \[f\left( x \right)\] không có đạo hàm tại điểm đó.

     Trong ba câu trên:

Hướng dẫn giải:

Chọn A

(1) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm \[x = {x_0}\]thì \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[x = {x_0}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.

Phản ví dụ

Lấy hàm \[f\left( x \right) = \left| x \right|\] ta có \[D = \mathbb{R}\] nên hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].

Nhưng ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 0}}{{x - 0}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - x - 0}}{{x - 0}} = - 1\end{array} \right.\]

Nên hàm số không có đạo hàm tại \[x = 0\].

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

(3) Nếu \[f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x = {x_0}\] thì chắc chắn \[f\left( x \right)\] không có đạo hàm tại điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có \[f\left( x \right)\] không liên tục tại \[x = {x_0}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.