Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1{\rm{ khi }}x \le 1\\\sqrt {x - 1} + 3{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải::

Chọn D

Với \(x < 1\) ta có: \(f'(x) = 2x + 1\)

Với \(x > 1\) ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}\)

Tại \(x = 1\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = 3\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{x - 1}} = + \infty \) suy ra hàm số không có đạo

hàm tại \(x = 1\)

Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1{\rm{   khi }}x < 1\\\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\).