Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z−1=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=z+i+z−2−i A. maxT=82 B. maxT = 4 C. maxT=42 D. maxT = 8

Chọn B Đặt z=x+yi x,y∈ℝ ta có z−1=2⇔x−1+yi=2⇔x−12+y2=2 ⇔x−12+y2=2⇔x2+y2=2x+1 (*). Lại có T=z+i+z−2−i=x+y+1i+x−2+y−1i=x2+y2+2y+1+x2+y2−4x−2y+5 Kết hợp với (*) ta được T=2x+2y+2+6−2x−2y=2x+y+2+6−2x+y Đặt T = x + y, khi đó T=ft=2t+2+6−2t với t∈−1;3 Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số Ta có f't=12t+2−16−2t; f't=0⇔t=1 Mà f1=4,f−1=22,f3=22. Vậy maxft=f1=4 Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có T=2t+2+6−2t≤1+1.8=4 Đẳng thức xảy ra khi t = 1

Câu hỏi:

06/01/2023 213

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 1| = \sqrt{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |z + i| + |z - 2 - i|$

A. $\max T = 8 \sqrt{2}$

B. maxT = 4

Đáp án chính xác

C. $\max T = 4 \sqrt{2}$

D. maxT = 8

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ ta có

$|z - 1| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - 1 + y i| = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x + 1$ (*).

Lại có

$T = |z + i| + |z - 2 - i| = |x + (y + 1) i| + |x - 2 + (y - 1) i| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5}$

Kết hợp với (*) ta được

$T = \sqrt{2 x + 2 y + 2} + \sqrt{6 - 2 x - 2 y} = \sqrt{2 (x + y) + 2} + \sqrt{6 - 2 (x + y)}$

Đặt T = x + y, khi đó $T = f (t) = \sqrt{2 t + 2} + \sqrt{6 - 2 t}$ với $t \in [- 1; 3]$

Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có $f' (t) = \frac{1}{\sqrt{2 t + 2}} - \frac{1}{\sqrt{6 - 2 t}}; f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Mà $f (1) = 4, f (- 1) = 2 \sqrt{2}, f (3) = 2 \sqrt{2}$ . Vậy $\max f (t) = f (1) = 4$

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

$T = \sqrt{2 t + 2} + \sqrt{6 - 2 t} \leq \sqrt{(1 + 1) .8} = 4$

Đẳng thức xảy ra khi t = 1

Bình luận

Câu 1:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 + i| - |z + 1 - 3 i| = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 1 - 4 i|$ bằng

A. 1

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án » 06/01/2023 2,240

Câu 2:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} - z_{2} = 3 + 4 i$ và $|z_{1} + z_{2}| = 5$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_{1}| + |z_{2}|$ là

A. 5

B. $5 \sqrt{3}$

C. $12 \sqrt{5}$

D. $5 \sqrt{2}$

Xem đáp án » 06/01/2023 1,506

Câu 3:

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ . Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và $\bar{z}$ . Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. $4 \sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án » 06/01/2023 1,353

Câu 4:

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M là

A. $60 - 20 \sqrt{10}$

B. $44 - 20 \sqrt{10}$

C. $\frac{9}{5}$

D. $52 - 20 \sqrt{10}$

Xem đáp án » 06/01/2023 917

Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} + 4| = |z (z + 2 i)|$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z + i|$ bằng

A. 2

B. $\sqrt{2}$

C. 1

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án » 06/01/2023 892

Câu 6:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = 2$ . Giá trị lớn nhất của $|z + 3 - i|$ bằng

A. 6

B. 7

C. 8

D .9

Xem đáp án » 06/01/2023 768

Câu 7:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 3 + 4 i| = 4$ . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của M.m bằng

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

Xem đáp án » 06/01/2023 723

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 1| = \sqrt{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |z + i| + |z - 2 - i|$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 + i| - |z + 1 - 3 i| = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 1 - 4 i|$ bằng

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} - z_{2} = 3 + 4 i$ và $|z_{1} + z_{2}| = 5$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_{1}| + |z_{2}|$ là

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ . Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và $\bar{z}$ . Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M là

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} + 4| = |z (z + 2 i)|$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z + i|$ bằng

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = 2$ . Giá trị lớn nhất của $|z + 3 - i|$ bằng

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 3 + 4 i| = 4$ . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của M.m bằng

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z−1=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=z+i+z−2−i

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho số phức z thỏa mãn z−2+i−z+1−3i=5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z+1−4i bằng

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1−z2=3+4i và z1+z2=5. Giá trị lớn nhất của biểu thức z1+z2 là

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z−2+z+2=42. Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và z¯. Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

Cho số phức z=x+yi x,y∈ℝ thỏa mãn z¯+2−3i≤z−2+i≤5. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P=x2+y2+8x+6y. Giá trị m + M là

Cho số phức z thỏa mãn z2+4=zz+2i. Giá trị nhỏ nhất của z+i bằng

Cho số phức z thỏa mãn z−1+2i=2. Giá trị lớn nhất của z+3−i bằng

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z−3+4i=4. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của M.m bằng

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 1| = \sqrt{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |z + i| + |z - 2 - i|$

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 + i| - |z + 1 - 3 i| = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 1 - 4 i|$ bằng

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} - z_{2} = 3 + 4 i$ và $|z_{1} + z_{2}| = 5$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_{1}| + |z_{2}|$ là

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ . Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và $\bar{z}$ . Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M là

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} + 4| = |z (z + 2 i)|$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z + i|$ bằng

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = 2$ . Giá trị lớn nhất của $|z + 3 - i|$ bằng

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 3 + 4 i| = 4$ . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của M.m bằng