Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\left|z-1\right|=\sqrt{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left|z+i\right|+\left|z-2-i\right|$

Chọn B

Gọi $M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn số phức z; gọi $A\left(2;-1\right), B\left(-1;3\right)$ là điểm biểu diễn số phức $2-i; -1+3i$. Ta có AB = 5

Từ giả thiết $\left|z-2+i\right|-\left|z+1-3i\right|=5$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt{{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2}-\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2}=5 \\ \Rightarrow MA-MB=5\Rightarrow MA-MB=AB\Rightarrow MA=MB+AB \end{gathered}$$

Suy ra M, A, B thẳng hàng ( B nằm giữa M và A). Do đó quỹ tích điểm M  là tia Bt  ngược hướng với tia BA

$P=\left|z+1-4i\right|=\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2}$ với $C\left(-1;4\right)\Rightarrow P=MC$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-3;4\right)$ phương trình đường thẳng $AB:4x+3y-5=0$

$CH=d\left(C,AB\right)=\frac{\left|4\left(-1\right)+3.4-5\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}, CB=\sqrt{{\left(-1+1\right)}^2+{\left(3-4\right)}^2}=1$

Do đó $\min P=CH=\frac{3}{5}$ khi H là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AB

Ta có $2\left({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2\right)={\left|z_1+z_2\right|}^2+{\left|z_1-z_2\right|}^2=5^2+3^2+4^2=50$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có

$\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\le \sqrt{2\left({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2\right)}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

Gọi $z_1=x+yi, z_2=a+bi; a, b, x, y\in ℝ$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{z}_1-z_2=3+4i\\ \left|z_1+z_2\right|=5\\ {\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2=25\\ \left|z_1\right|=\left|z_2\right|\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{7}{2}\end{array}\right.$. Hay $z_1=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i; z_2=\frac{1}{2}-\frac{7}{2}i$

Thay $z_1,z_2$ vào giả thiết thỏa mãn.

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ bằng $5\sqrt{2}$