Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z−2+z+2=42. Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và z¯. Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là A. 1 B. 2 C. 42 D. 22

Chọn D Đặt z=x+yix,y∈ℝ⇒z¯=x−yi Gọi F1−2;0, F22;0, Mx;y, Nx;−y lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức −2;2;z;z¯ Do M, N là điểm biểu diễn số phức z và z¯ nên suy ra M, N đối xứng nhau qua Ox. Khi đó SΔOMN=xy Ta có F1F2=2c=4⇒c=2. Theo giả thiết ta có MF1+MF2=42, tập hợp điểm M thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn 2a=42⇒a=22; trục bé 2b=2a2−c2=28−4=4⇒b=2 Nên elip có phương trình E:x28+y24=1 Do đó 1=x28+y24≥2x28.y24=xy22⇒SΔOMN=xy≤22 Đẳng thức xảy ra khi x=2y=2

Câu hỏi:

06/01/2023 828

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ . Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và $\bar{z}$ . Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. $4 \sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{2}$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = x - y i$

Gọi $F_{1} (- 2; 0), F_{2} (2; 0), M (x; y), N (x; - y)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $- 2; 2; z; \bar{z}$

Do M, N là điểm biểu diễn số phức $z$ và $\bar{z}$ nên suy ra M, N đối xứng nhau qua Ox.

Khi đó $S_{Δ O M N} = |x y|$

Ta có $F_{1} F_{2} = 2 c = 4 \Rightarrow c = 2$ . Theo giả thiết ta có $M F_{1} + M F_{2} = 4 \sqrt{2}$ , tập hợp điểm M thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn $2 a = 4 \sqrt{2} \Rightarrow a = 2 \sqrt{2}$ ; trục bé $2 b = 2 \sqrt{a^{2} - c^{2}} = 2 \sqrt{8 - 4} = 4 \Rightarrow b = 2$

Nên elip có phương trình $(E) : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Do đó $1 = \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} \geq 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{8} . \frac{y^{2}}{4}} = \frac{|x y|}{2 \sqrt{2}} \Rightarrow S_{Δ O M N} = |x y| \leq 2 \sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi

\{\begin{cases} x = 2 \\ y = \sqrt{2} \end{cases}

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 + i| - |z + 1 - 3 i| = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 1 - 4 i|$ bằng

A. 1

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án » 06/01/2023 1,301

Câu 2:

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M là

A. $60 - 20 \sqrt{10}$

B. $44 - 20 \sqrt{10}$

C. $\frac{9}{5}$

D. $52 - 20 \sqrt{10}$

Xem đáp án » 06/01/2023 483

Câu 3:

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} + 4| = |z (z + 2 i)|$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z + i|$ bằng

A. 2

B. $\sqrt{2}$

C. 1

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án » 06/01/2023 436

Câu 4:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z + 1| + |z^{2} + z + 1|$ . Khi đó giá trị của M + m bằng

A. 5

B. 6

C. $\frac{5}{4}$

D. $\frac{9}{4}$

Xem đáp án » 07/01/2023 354

Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |1 + z| + 3 |1 - z|$ bằng

A. $2 \sqrt{10}$

B. $6 \sqrt{5}$

C. $3 \sqrt{15}$

D. $2 \sqrt{5}$

Xem đáp án » 06/01/2023 319

Câu 6:

Xét số phức z thỏa mãn $4 |z + i| + 3 |z - i| = 10$ . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z|$ là

A. $\frac{60}{49}$

B. $\frac{58}{49}$

C. $\frac{18}{7}$

D. $\frac{16}{7}$

Xem đáp án » 06/01/2023 293

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z−2+z+2=42. Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và z¯. Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

Cho số phức z thỏa mãn z−2+i−z+1−3i=5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z+1−4i bằng

Cho số phức z=x+yi x,y∈ℝ thỏa mãn z¯+2−3i≤z−2+i≤5. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P=x2+y2+8x+6y. Giá trị m + M là

Cho số phức z thỏa mãn z2+4=zz+2i. Giá trị nhỏ nhất của z+i bằng

Cho số phức z thỏa mãn z=1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z+1+z2+z+1. Khi đó giá trị của M + m bằng

Cho số phức z thỏa mãn z=1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=1+z+31−z bằng

Xét số phức z thỏa mãn 4z+i+3z−i=10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!