Câu hỏi:

07/01/2023 876

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z + 1| + |z^{2} + z + 1|$ . Khi đó giá trị của M + m bằng

A. 5

B. 6

C. $\frac{5}{4}$

D. $\frac{9}{4}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Đặt $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ và $t = |z + 1|$ . Khi đó

$t^{2} = (z + 1) (\bar{z} + 1) = {|z|}^{2} + 1 + z + \bar{z} = 2 + 2 a \Rightarrow a = \frac{t^{2} - 2}{2}$

Ta có

$|z^{2} + z + 1| = |a^{2} - b^{2} + 2 a b i + a + b i + 1| = |a^{2} + (1 - b^{2}) + a + b (2 a + 1) i| = \sqrt{{(2 a^{2} + a)}^{2} + b^{2} {(2 a + 1)}^{2}} = \sqrt{a^{2} {(2 a + 1)}^{2} + (1 - a^{2}) {(2 a + 1)}^{2}}$

$= |2 a + 1| = |t^{2} - 1|$

$\Rightarrow |z + 1| + |z^{2} + z + 1| = t + |t^{2} - 1|$ (với $0 \leq t \leq 2$ , do $a^{2} \leq 1$ ).

Xét hàm số $f (t) = t + |t^{2} - 1|$ với $t \in [0; 2]$

Trường hợp 1: $t \in [0; 1] \Rightarrow f (t) = t + 1 - t^{2} = - t^{2} + t + 1 \leq f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4}$

và có $f (0) = f (1) = 1$ nên $\{\begin{cases} \max_{[0; 1]} f (t) = \frac{5}{4} \\ \min_{[0; 1]} f (t) = 1 \end{cases}$

Trường hợp 2: $t \in [1; 2] \Rightarrow f (t) = t + t^{2} - 1 = t^{2} + t - 1, f^{'} (t) = 2 t + 1 > 0, \forall t \in [1; 2]$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên $[1; 2] \Rightarrow$ $\{\begin{cases} M = \max_{[0; 2]} f (t) = 5 \\ m = \min_{[0; 2]} f (t) = 1 \end{cases} \Rightarrow M + m = 6$

Vậy

\{\begin{cases} M = \max_{[0; 2]} f (t) = 5 \\ m = \min_{[0; 2]} f (t) = 1 \end{cases} \Rightarrow M + m = 6

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 + i| - |z + 1 - 3 i| = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 1 - 4 i|$ bằng

A. 1

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\sqrt{2}$

Lời giải

Chọn B

Cho số phức z thỏa mãn trị tuyệt đối z - 2 + i - trị tuyệt đối z + 1 - 3i = 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = trị tuyệt đối z + 1 - 4i bằng (ảnh 1)

Gọi $M (x; y)$ là điểm biểu diễn số phức z; gọi $A (2; - 1), B (- 1; 3)$ là điểm biểu diễn số phức $2 - i; - 1 + 3 i$ . Ta có AB = 5

Từ giả thiết $|z - 2 + i| - |z + 1 - 3 i| = 5$

$\Rightarrow \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} - \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2}} = 5 \Rightarrow M A - M B = 5 \Rightarrow M A - M B = A B \Rightarrow M A = M B + A B$

Suy ra M, A, B thẳng hàng ( B nằm giữa M và A). Do đó quỹ tích điểm M là tia Bt ngược hướng với tia BA

$P = |z + 1 - 4 i| = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2}}$ với $C (- 1; 4) \Rightarrow P = M C$

Ta có $\vec{A B} = (- 3; 4)$ phương trình đường thẳng $A B : 4 x + 3 y - 5 = 0$

$C H = d (C, A B) = \frac{|4 (- 1) + 3.4 - 5|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{3}{5}, C B = \sqrt{{(- 1 + 1)}^{2} + {(3 - 4)}^{2}} = 1$

Do đó $\min P = C H = \frac{3}{5}$ khi H là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AB

Câu 2

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} - z_{2} = 3 + 4 i$ và $|z_{1} + z_{2}| = 5$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_{1}| + |z_{2}|$ là

A. 5

B. $5 \sqrt{3}$

C. $12 \sqrt{5}$

D. $5 \sqrt{2}$

Lời giải

Chọn D

Ta có $2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) = {|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 5^{2} + 3^{2} + 4^{2} = 50$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có

$|z_{1}| + |z_{2}| \leq \sqrt{2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

Gọi $z_{1} = x + y i, z_{2} = a + b i; a, b, x, y \in ℝ$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} z_{1} - z_{2} = 3 + 4 i \\ |z_{1} + z_{2}| = 5 \\ {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} = 25 \\ |z_{1}| = |z_{2}| \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{7}{2} \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$ và $\{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = - \frac{7}{2} \end{cases}$ . Hay $z_{1} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} i; z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{7}{2} i$

Thay $z_{1}, z_{2}$ vào giả thiết thỏa mãn.

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_{1}| + |z_{2}|$ bằng $5 \sqrt{2}$

Câu 3

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ . Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và $\bar{z}$ . Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. $4 \sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M là

A. $60 - 20 \sqrt{10}$

B. $44 - 20 \sqrt{10}$

C. $\frac{9}{5}$

D. $52 - 20 \sqrt{10}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} + 4| = |z (z + 2 i)|$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z + i|$ bằng

A. 2

B. $\sqrt{2}$

C. 1

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = 2$ . Giá trị lớn nhất của $|z + 3 - i|$ bằng

A. 6

B. 7

C. 8

D .9

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 3 + 4 i| = 4$ . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của M.m bằng

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z + 1| + |z^{2} + z + 1|$ . Khi đó giá trị của M + m bằng

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 + i| - |z + 1 - 3 i| = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 1 - 4 i|$ bằng

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} - z_{2} = 3 + 4 i$ và $|z_{1} + z_{2}| = 5$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_{1}| + |z_{2}|$ là

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ . Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và $\bar{z}$ . Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M là

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} + 4| = |z (z + 2 i)|$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z + i|$ bằng

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = 2$ . Giá trị lớn nhất của $|z + 3 - i|$ bằng

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 3 + 4 i| = 4$ . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của M.m bằng