Câu hỏi:

07/01/2023 385

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z + 1| + |z^{2} + z + 1|$ . Khi đó giá trị của M + m bằng

A. 5

B. 6

Đáp án chính xác

C. $\frac{5}{4}$

D. $\frac{9}{4}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Đặt $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ và $t = |z + 1|$ . Khi đó

$t^{2} = (z + 1) (\bar{z} + 1) = {|z|}^{2} + 1 + z + \bar{z} = 2 + 2 a \Rightarrow a = \frac{t^{2} - 2}{2}$

Ta có

$|z^{2} + z + 1| = |a^{2} - b^{2} + 2 a b i + a + b i + 1| = |a^{2} + (1 - b^{2}) + a + b (2 a + 1) i| = \sqrt{{(2 a^{2} + a)}^{2} + b^{2} {(2 a + 1)}^{2}} = \sqrt{a^{2} {(2 a + 1)}^{2} + (1 - a^{2}) {(2 a + 1)}^{2}}$

$= |2 a + 1| = |t^{2} - 1|$

$\Rightarrow |z + 1| + |z^{2} + z + 1| = t + |t^{2} - 1|$ (với $0 \leq t \leq 2$ , do $a^{2} \leq 1$ ).

Xét hàm số $f (t) = t + |t^{2} - 1|$ với $t \in [0; 2]$

Trường hợp 1: $t \in [0; 1] \Rightarrow f (t) = t + 1 - t^{2} = - t^{2} + t + 1 \leq f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4}$

và có $f (0) = f (1) = 1$ nên $\{\begin{cases} \max_{[0; 1]} f (t) = \frac{5}{4} \\ \min_{[0; 1]} f (t) = 1 \end{cases}$

Trường hợp 2: $t \in [1; 2] \Rightarrow f (t) = t + t^{2} - 1 = t^{2} + t - 1, f^{'} (t) = 2 t + 1 > 0, \forall t \in [1; 2]$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên $[1; 2] \Rightarrow$ $\{\begin{cases} M = \max_{[0; 2]} f (t) = 5 \\ m = \min_{[0; 2]} f (t) = 1 \end{cases} \Rightarrow M + m = 6$

Vậy

\{\begin{cases} M = \max_{[0; 2]} f (t) = 5 \\ m = \min_{[0; 2]} f (t) = 1 \end{cases} \Rightarrow M + m = 6

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 + i| - |z + 1 - 3 i| = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 1 - 4 i|$ bằng

A. 1

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án » 06/01/2023 1,392

Câu 2:

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ . Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và $\bar{z}$ . Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. $4 \sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án » 06/01/2023 870

Câu 3:

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M là

A. $60 - 20 \sqrt{10}$

B. $44 - 20 \sqrt{10}$

C. $\frac{9}{5}$

D. $52 - 20 \sqrt{10}$

Xem đáp án » 06/01/2023 531

Câu 4:

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} + 4| = |z (z + 2 i)|$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z + i|$ bằng

A. 2

B. $\sqrt{2}$

C. 1

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án » 06/01/2023 457

Câu 5:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} - z_{2} = 3 + 4 i$ và $|z_{1} + z_{2}| = 5$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_{1}| + |z_{2}|$ là

A. 5

B. $5 \sqrt{3}$

C. $12 \sqrt{5}$

D. $5 \sqrt{2}$

Xem đáp án » 06/01/2023 378

Câu 6:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |1 + z| + 3 |1 - z|$ bằng

A. $2 \sqrt{10}$

B. $6 \sqrt{5}$

C. $3 \sqrt{15}$

D. $2 \sqrt{5}$

Xem đáp án » 06/01/2023 338

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho số phức z thỏa mãn z=1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z+1+z2+z+1. Khi đó giá trị của M + m bằng

Cho số phức z thỏa mãn z−2+i−z+1−3i=5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z+1−4i bằng

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z−2+z+2=42. Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và z¯. Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

Cho số phức z=x+yi x,y∈ℝ thỏa mãn z¯+2−3i≤z−2+i≤5. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P=x2+y2+8x+6y. Giá trị m + M là

Cho số phức z thỏa mãn z2+4=zz+2i. Giá trị nhỏ nhất của z+i bằng

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1−z2=3+4i và z1+z2=5. Giá trị lớn nhất của biểu thức z1+z2 là

Cho số phức z thỏa mãn z=1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=1+z+31−z bằng

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!