Câu hỏi:

31/01/2023 658

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z + 2}{3}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 1 = 0$ . Đường thẳng $∆$ đi qua $E (- 2; 1; - 2)$ , song song với $(P)$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (m; n; 1)$ , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính $T = m^{2} - n^{2}$ .

A. $T = - 5$ .

T = 4

T = 3

T = - 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2; - 1; 2)$ ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec{v} = (4; - 4; 3)$ .

$Δ // (P) \Rightarrow \vec{u} ⊥ \vec{n} \Leftrightarrow 2 m - n + 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2 m + 2$

Mặt khác ta có: $\cos (\hat{Δ; d}) = \frac{|\vec{u} . \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{|4 m - 4 n + 3|}{\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1} . \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2} + 3^{2}}}$

$= \frac{|4 m + 5|}{\sqrt{41 (5 m^{2} + 8 m + 5)}} = \frac{1}{\sqrt{41}} . \sqrt{\frac{{(4 m + 5)}^{2}}{5 m^{2} + 8 m + 5}} = \frac{1}{\sqrt{41}} . \sqrt{\frac{16 m^{2} + 40 m + 25}{5 m^{2} + 8 m + 5}}$

Vì $0 ° \leq (\hat{Δ, d}) \leq 90 °$ nên $(\hat{Δ, d})$ bé nhất khi và chỉ khi $\cos (\hat{Δ, d})$ lớn nhất.

Xét hàm số $f (t) = \frac{16 t^{2} + 40 t + 25}{5 t^{2} + 8 t + 5} \Rightarrow f^{'} (t) = \frac{- 72 t^{2} - 90 t}{{(5 t^{2} + 8 t + 5)}^{2}}$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\max f (t) = f (0) = 5$ .

Suy ra $(\hat{Δ, d})$ bé nhất khi $m = 0 \Rightarrow n = 2$ .

Do đó $T = m^{2} - n^{2} = - 4$ .

Chọn D.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z + 3 = 0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. $\frac{x - 1}{- 4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}$ .

\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{3}

\frac{x + 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{- 3}

\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}

Lời giải

Mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{_{(P)}} = (2; - 1; - 1)$ .

Đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{_{Δ}} = (1; - 2; 2)$ .

Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{_{d}}$ .

Do $0 ° \leq (d, Δ) \leq 90 °$ mà theo giả thiết d tạo $∆$ góc lớn nhất nên $(d, Δ) = 90 ° \Rightarrow {\vec{u}}_{d} ⊥ {\vec{u}}_{Δ}$ .

Lại có $d // (P)$ nên ${\vec{u}}_{d} ⊥ {\vec{n}}_{(P)}$ . Do đó chọn ${\vec{u}}_{d} = [{\vec{u}}_{Δ}, {\vec{n}}_{(P)}] = (4; 5; 3)$ .

Vậy phương trình đường thẳng d là $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}$ .

Chọn D.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P) : x - z . \sin α + \cos α = 0; (Q) : y - z . \cos α - \sin α = 0; α \in (0; \frac{π}{2})$ .

Góc giữa d và trục Oz là:

A. $30 °$ .

45 °

60 °

90 °

Lời giải

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(P)}} = (1; 0; - \sin α)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(Q)}} = (0; 1; - \cos α)$ .

d là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d là:

$\vec{u_{(d)}} = [\vec{n_{(P)}}, \vec{n_{(Q)}}] = (\sin α; \cos α; 1)$

Vectơ chỉ phương của (Oz) là $\vec{u_{(O z)}} = (0; 0; 1)$ .

Suy ra $\cos (d, O z) = \frac{|0. \sin α + 0. \cos α + 1.1|}{\sqrt{\sin^{2} α + \cos^{2} α + 1^{2}} . \sqrt{0 + 0 + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (d, O z) = 45 °$ .

Vậy góc giữa d và trục $(O z)$ là $45 °$ .

Chọn B.

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ và mặt phẳng $(α) : - x + 2 y - 3 z = 0$ . Gọi $φ$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $(α)$ . Khi đó góc $φ$ bằng

A. $0 °$ .

45 °

90 °

60 °

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 4}$ . Góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ bằng

A. $30 °$ .

45 °

60 °

135 °

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = m - 1 + t \end{cases}$ .

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A,B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng

A. -1,5.

B. 3.

C. -3.

D. -2,25.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{\sqrt{2}} = \frac{z - 3}{1}$ và $d_{2} : \frac{x + 5}{1} = \frac{y + 3}{\sqrt{2}} = \frac{z - 5}{m}$ tạo với nhau góc $60 °$ , giá trị của tham số m bằng

A. $m = - 1$ .

m = \frac{\sqrt{3}}{2}

m = \frac{1}{2}

m = 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x+24=y−1−4=z+23 và mặt phẳng P:2x−y+2z+1=0 . Đường thẳng ∆ đi qua E−2;1;−2 , song song với P có một vectơ chỉ phương u→=m;n;1 , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính T=m2−n2 .

Bình luận

Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng P:2x−y−z+3=0 , đồng thời tạo với đường thẳng Δ:x+11=y−1−2=z2 một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng P:x−z.sinα+cosα=0; Q:y−z.cosα−sinα=0; α∈0;π2 . Góc giữa d và trục Oz là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−21=y−1−2=z+13 và mặt phẳng α:−x+2y−3z=0 . Gọi φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α . Khi đó góc φ bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1:x−1−2=y+21=z−32 và Δ2:x+31=y−11=z+2−4. Góc giữa hai đường thẳng Δ1,Δ2 bằng

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng d1:x−21=y+12=z−31 và d2:x+51=y+32=z−5m tạo với nhau góc 60° , giá trị của tham số m bằng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P) : x - z . \sin α + \cos α = 0; (Q) : y - z . \cos α - \sin α = 0; α \in (0; \frac{π}{2})$ .

Góc giữa d và trục Oz là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ và mặt phẳng $(α) : - x + 2 y - 3 z = 0$ . Gọi $φ$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $(α)$ . Khi đó góc $φ$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 4}$ . Góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ bằng

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{\sqrt{2}} = \frac{z - 3}{1}$ và $d_{2} : \frac{x + 5}{1} = \frac{y + 3}{\sqrt{2}} = \frac{z - 5}{m}$ tạo với nhau góc $60 °$ , giá trị của tham số m bằng