Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{3}$  và mặt phẳng $\left(\alpha \right):-x+2y-3z=0$ . Gọi $\phi$  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ . Khi đó góc $\phi$  bằng

Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-z+3=0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$  một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(P\right):x-z.\sin \alpha +\cos \alpha =0;\left(Q\right):y-z.\cos \alpha -\sin \alpha =0;\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ .

Góc giữa d và trục Oz là:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{2}$  và ${\Delta }_2:\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$  bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z+2}{3}$  và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z+1=0$ . Đường thẳng $∆$ đi qua $E\left(-2;1;-2\right)$ , song song với $\left(P\right)$  có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(m;n;1\right)$ , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính $T=m^2-n^2$ .

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+2\right)}^2=4$  và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=t\\ z=m-1+t\end{array}\right.$ .

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A,B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng