Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{3}$  và mặt phẳng $\left(\alpha \right):-x+2y-3z=0$ . Gọi $\phi$  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ . Khi đó góc $\phi$  bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(P\right):x-z.\sin \alpha +\cos \alpha =0;\left(Q\right):y-z.\cos \alpha -\sin \alpha =0;\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ .

Góc giữa d và trục Oz là:

Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-z+3=0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$  một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+2\right)}^2=4$  và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=t\\ z=m-1+t\end{array}\right.$ .

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B và các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A,B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z+2}{3}$  và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z+1=0$ . Đường thẳng $∆$ đi qua $E\left(-2;1;-2\right)$ , song song với $\left(P\right)$  có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(m;n;1\right)$ , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính $T=m^2-n^2$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{4}$  và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-2z+6=0$ . Biết $∆$ cắt mặt phẳng $\left(P\right)$  tại $A,M$  thuộc $∆$ sao cho $AM=2\sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).