Tìm số lớn nhất có 3 chữ số biết khi chia cho 75 thì thương và số dư bằng nhau.

Đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99.

Suy ra 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 98.99.3.

= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ... + 98.99.(100 – 97).

= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + ... + 98.99.100 – 97.98.99.

= 98.99.100

Suy ra A = 98.99.100 : 3 = 98.33.100 = 323 400.

Vậy A = 323 400.

Gọi số học sinh của trường đó là x (900 < x < 1000 và x ∈ ℕ).

Mỗi lần xếp hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều không có ai lẻ hàng.

Suy ra x chia hết cho 3, 4, 5 hay x là BC(3, 4, 5).

Mà BCNN(3, 4, 5) = 60.

Do đó x ∈ B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; ...}.

Mà 900 < x < 1000 và x ∈ ℕ nên x = 960.

Vậy số học sinh của trường đó là 960.