Tính a+b+c5a5+b5+c5 thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc.

Đặt A=a+b+c5a5+b5+c5 . Ta có: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 6abc + 3(a2b + ab2 + b2c + bc2 + c2a + a2c). ⇔ (a + b + c)3 = (3abc + 3a2b + 3ab2) + (3abc + 3b2c + 3bc2) + (3abc + 3c2a + 3a2c). ⇔ (a + b + c)3 = 3ab(a + b + c) + 3bc(a + b + c) + 3ac(a + b + c). ⇔ (a + b + c)3 = 3(ab + bc + ca)(a + b + c). ⇔ (a + b + c).[(a + b + c)2 – 3(ab + bc + ca)] = 0. ⇔a+b+c=0a+b+c2=3ab+bc+ca 12 Từ (1), ta có: A=a+b+c5a5+b5+c5=05a5+b5+c5=0 . Từ (2), ta có: (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). ⇔ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca. ⇔ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. ⇔ (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) = 0. ⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0. ⇔a=bb=cc=a⇔a=b=c. Với a = b = c, ta có: A=a+b+c5a5+b5+c5=3a53a5=34.3a53a5=34=81 . Vậy A=0, khi a+b+c=081, khi a=b=c .

Câu hỏi:

13/07/2024 308

Tính $\frac{{(a + b + c)}^{5}}{a^{5} + b^{5} + c^{5}}$ thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3abc.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $A = \frac{{(a + b + c)}^{5}}{a^{5} + b^{5} + c^{5}}$ .

Ta có: (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 6abc + 3(a²b + ab² + b²c + bc² + c²a + a²c).

⇔ (a + b + c)³ = (3abc + 3a²b + 3ab²) + (3abc + 3b²c + 3bc²) + (3abc + 3c²a + 3a²c).

⇔ (a + b + c)³ = 3ab(a + b + c) + 3bc(a + b + c) + 3ac(a + b + c).

⇔ (a + b + c)³ = 3(ab + bc + ca)(a + b + c).

⇔ (a + b + c).[(a + b + c)² – 3(ab + bc + ca)] = 0.

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a + b + c = 0 \\ {(a + b + c)}^{2} = 3 (a b + b c + c a) \end{array} \begin{matrix} (1) \\ (2) \end{matrix}$

Từ (1), ta có: $A = \frac{{(a + b + c)}^{5}}{a^{5} + b^{5} + c^{5}} = \frac{0^{5}}{a^{5} + b^{5} + c^{5}} = 0$ .

Từ (2), ta có: (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca).

⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca.

⇔ a² + b² + c² = ab + bc + ca.

⇔ (a² – 2ab + b²) + (b² – 2bc + c²) + (c² – 2ca + a²) = 0.

⇔ (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² = 0.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ b = c \\ c = a \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c$ .

Với a = b = c, ta có: $A = \frac{{(a + b + c)}^{5}}{a^{5} + b^{5} + c^{5}} = \frac{{(3 a)}^{5}}{3 a^{5}} = \frac{3^{4} .3 a^{5}}{3 a^{5}} = 3^{4} = 81$ .

Vậy $A = \{\begin{cases} 0, k h i a + b + c = 0 \\ 81, k h i a = b = c \end{cases}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có hai xe ô tô, mỗi xe chở 4200 kg gạo và 3 xe ô tô, mỗi xe chở 3600 kg gạo. Trung bình mỗi xe chở số ki-lô-gam gạo là

A. 4200 kg;

B. 3600 kg;

C. 3840 kg;

D. 3900 kg.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Trung bình mỗi xe chở số ki-lô-gam gạo là: (4200 × 2 + 3600 × 3) : 5 = 3840 (kg).

Đáp số: 3840 kg.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 2

Cho hai tập hợp A = {0; 1}, B = {0; 1; 2; 3; 4}. Số tập X thỏa mãn X là con của C_AB là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có C_AB = A \ B = ∅.

Vậy số tập X thỏa mãn X là con của C_AB là 2⁰ = 1.

Câu 3