Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n7 – n chia hết cho 7.

Đặt An = n7 – n. Khi n = 1 thì A1 = 0 và chia hết cho 7. Giả sử đã có Ak = (k7 – k) ⋮ 7 (giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh Ak + 1 ⋮ 7, tức là (k + 1)7 – (k + 1) ⋮ 7. Áp dụng công thức Nhị thức Niu – tơn ta có: Ak + 1 = (k + 1)7 – (k + 1) = k7 + 7k6 + 21k5 + 35k4 + 35k3 + 21k2 + 7k + 1 – k – 1 = k7 – k + 7(k6 + 3k5 + 5k4 + 5k3 +3k2 + k). Theo giả thiết quy nạp thì Ak = k7 – k chia hết cho 7, do đó Ak + 1 ⋮ 7. Vậy n7 – n chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.

Câu hỏi:

11/07/2024 963

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n⁷ – n chia hết cho 7.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt A_n = n⁷ – n.

Khi n = 1 thì A₁ = 0 và chia hết cho 7.

Giả sử đã có A_k = (k⁷ – k) ⋮ 7 (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh A_{k + 1}⋮ 7, tức là (k + 1)⁷ – (k + 1) ⋮ 7.

Áp dụng công thức Nhị thức Niu – tơn ta có:

A_{k + 1}= (k + 1)⁷ – (k + 1)

= k⁷ + 7k⁶ + 21k⁵ + 35k⁴ + 35k³ + 21k² + 7k + 1 – k – 1

= k⁷ – k + 7(k⁶ + 3k⁵ + 5k⁴ + 5k³ +3k² + k).

Theo giả thiết quy nạp thì A_k= k⁷ – k chia hết cho 7, do đó A_{k + 1}⋮ 7.

Vậy n⁷ – n chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC, từ B kẻ tia By song song AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường thẳng MP cắt AC tại Q và đường thẳng BQ cắt AI tại H.

a) Tứ giác AMBQ là hình gì?

b) Chứng minh CH vuông góc AB.

c) Chứng minh tam giác PIQ cân.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC, từ B kẻ tia By (ảnh 1)

Vì Ax ⊥ AC ⇒ AM ⊥ AC

mà BM // AC

⇒ AM ⊥ BM

Chứng minh tương tự ⇒ AQ // BM và BM // AQ (cmt)

Suy ra AMBQ là hình bình hành.

Mà \(\widehat {AMB} = \widehat {MBQ} = \widehat {ABQ} = \widehat {MAQ} = {90^o}\).

Vậy AMBQ là hình chữ nhật.

b) BQ ⊥ AC (cmt) mà \(BQ \cap AI = H\)

Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó: CH ⊥ AB

c) AMBQ là hình chữ nhật mà \(AB \cap QM = P\)

⇒ P là trung điểm AB và P là trung điểm QM

\(\Delta ABI\) vuông tại I có đường trung tuyến IP

⇒ \(IP = \frac{1}{2}AB\)

⇒ IP = PQ

⇒ \(\Delta IPQ\) cân tại P.

Câu 2

Cho a là góc tù và \(\sin a = \frac{4}{5}\). Tính A = 2sina – cosa.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: sin²a + cos²a = 1

⇒ cos²a = 1 – sin²a

⇒ cos²a = \(1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2}\)

\( = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\cos ^2}a = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\\{\cos ^2}a = {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \cos a = \frac{{ \pm 3}}{5}\)

Mà a là góc tù nên cosa < 0

\( \Rightarrow \cos a = - \frac{3}{5}\)

\( \Rightarrow A = 2\sin a - \cos a = 2.\frac{4}{5} - \left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)\)

\( = \frac{8}{5} + \frac{3}{5} = \frac{{11}}{5}\)

Vậy \(A = \frac{{11}}{5}\).

Câu 3

Tìm điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 2)x + 3 luôn đi qua với mọi giá trị của m.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

a) Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\).

b) Tia ED cắt AB tại F. Chứng minh AC = AF.

c) Gọi G là trung điểm của DF; AD cắt CF tại H và cắt CG tại I. Chứng minh DI = 2IH.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt các cạnh DE và BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh:

a) BC // DE.

b) AM = AN.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3x³ + 2(m + 1)x² – 3mx + m – 5 có hai điểm cực trị x₁, x₂ đồng thời y(x₁).y(x₂) = 0 là

A. −8;

B. \(3\sqrt {11} - 13\);

C. −39;

D. −21.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Xác định hàm số bậc hai y = 2x² + bx + c biết đồ thị của nó có đỉnh I(−1; −2).

A. y = 2x² – 4x + 4;

B. y = 2x² – 4x;

C. y = 2x² – 3x + 4;

D. y = 2x² + 4x.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n7 – n chia hết cho 7.

Cho a là góc tù và \(\sin a = \frac{4}{5}\). Tính A = 2sina – cosa.

Tìm điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 2)x + 3 luôn đi qua với mọi giá trị của m.

Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt các cạnh DE và BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh: a) BC // DE. b) AM = AN.

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3x3 + 2(m + 1)x2 – 3mx + m – 5 có hai điểm cực trị x1, x2 đồng thời y(x1).y(x2) = 0 là

Xác định hàm số bậc hai y = 2x2 + bx + c biết đồ thị của nó có đỉnh I(−1; −2).

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n⁷ – n chia hết cho 7.

Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt các cạnh DE và BC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh:

a) BC // DE.

b) AM = AN.

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3x³ + 2(m + 1)x² – 3mx + m – 5 có hai điểm cực trị x₁, x₂ đồng thời y(x₁).y(x₂) = 0 là

Xác định hàm số bậc hai y = 2x² + bx + c biết đồ thị của nó có đỉnh I(−1; −2).