Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{3n-1}{n}$;

b) $\lim \frac{\sqrt{n^2+2}}{n}$

Ta có:

Diện tích tam giác H₁ = S và chu vi tam giác H₁ = 3a;

Diện tích tam giác H₂ =  $\frac{1}{4}$S và chu vi tam giác H₂ =  $\frac{1}{2}$ 3a;

Diện tích tam giác H₂ =  ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2$S và chu vi tam giác H₃ =  ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$3a;

...

Diện tích tam giác H_n =  ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$S và chu vi tam giác H₂ =  ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$3a;

Khi đó:

Diện tích của dãy các tam giác H₁; H₂; H₃; ...; H₄ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên u₁ = S và công bội  $q=\frac{1}{4}$ có tổng bằng  $S+\frac{1}{4}S+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{2}S+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}S+\mathrm{...}=\frac{S}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}S$.

Diện tích của dãy các tam giác H₁; H₂; H₃; ...; H₄ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên u₁ = 3a và công bội  $q=\frac{1}{2}$ có tổng bằng

 $3a+\frac{1}{2}.3a+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.3a+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3.3a+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}3a+\mathrm{...}=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$.

+) Với 0 ≤ t < 60 thì T(t) = 10 + 2t là hàm số liên tục.

+) Với 60 < t ≤ 100 thì T(t) = k – 3t là hàm số liên tục.

+) Tại t = 60, ta có:

 $\underset{t\to {60}^{-}}{\lim }T\left(t\right)=\underset{t\to {60}^{-}}{\lim }\left(10+2t\right)=130$

 $\underset{t\to {60}^{+}}{\lim }T\left(t\right)=\underset{t\to {60}^{-}}{\lim }\left(k-3t\right)=k-180$

Để hàm số liên tục trên tập xác định [0; 100] thì hàm số liên tục tại x = 60

⇔ k – 180 = 130

⇔ k = 240.