Chứng minh rằng: 1a2+1b2+2≥8a+b

Ta có: 1a2+1b2≥2⋅1a⋅1b⇔21a2+1b2≥1a2+1b2+2⋅1a⋅1b⇔21a2+1b2≥1a+1b2(1) Mặt khác: 1a+1b−22≥0⇔1a+1b2−41a+1b+4≥0⇔1a+1b2+4≥41a+1b(2) Lại có: (a + b)2 ≥ 4ab ⇔a+bab≥4a+b⇔1a+1b≥4a+b(3) Từ (1), (2), (3) ⇒ 21a2+1b2+4≥1a+1b2+4≥41a+1b≥16a+b ⇔1a2+1b2+2≥8a+b (với a, b > 0)

Câu hỏi:

26/07/2023 611

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + 2 \geq \frac{8}{a + b}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 2 \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \\ \Leftrightarrow 2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + 2 \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \\ \Leftrightarrow 2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} (1) \end{array}$

Mặt khác:

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - 2)}^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} - 4 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + 4 \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} + 4 \geq 4 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (2) \end{array}$

Lại có: (a + b)² ≥ 4ab

\Leftrightarrow \frac{a + b}{a b} \geq \frac{4}{a + b} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b} (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ $2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) + 4 \geq {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} + 4 \geq 4 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq \frac{16}{a + b}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + 2 \geq \frac{8}{a + b}$ (với a, b > 0)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{M B} = \vec{M C}$

B. $\vec{A M} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\vec{A M}$ = a

D. $|\vec{A M}| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án » 26/07/2023 17,381

Câu 2:

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 0, d > 0;

B. a < 0, d > 0;

C. a > 0, d < 0;

D. a < 0, d < 0.

Xem đáp án » 26/07/2023 13,637

Câu 3:

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

A. $S = \{- \frac{π}{6} + k π, \frac{7 π}{12} + k π, k \in ℤ\}$

B. $S = \{- \frac{π}{12} + k π, \frac{7 π}{12} + k π, k \in ℤ\}$

C. $S = \{- \frac{π}{6} + k π, \frac{7 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ\}$

D. $S = \{- \frac{π}{12} + k 2 π, \frac{7 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ\}$

Xem đáp án » 26/07/2023 13,212

Câu 4:

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

A. C(5; -4);

B. C(5; 4);

C. C(-5; 4);

D. C(-5; -4).

Xem đáp án » 26/07/2023 9,853

Câu 5:

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 8,080

Câu 6:

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,676

Câu 7:

Phương trình $\log_{x} 2 + \log_{2} x = \frac{5}{2}$

A. Vô nghiệm;

B. Có một nghiệm âm;

C. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương;

D. Có hai nghiệm dương.

Xem đáp án » 26/07/2023 7,076

Xem thêm các câu hỏi khác »

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + 2 \geq \frac{8}{a + b}$

Nhà sách VIETJACK:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Phương trình $\log_{x} 2 + \log_{2} x = \frac{5}{2}$

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Chứng minh rằng: 1a2+1b2+2≥8a+b

Nhà sách VIETJACK:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = ax3 + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G 13;0 là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) mx+2y=m+12x+my=2m−1

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x1, x2 thỏa mãn x1 – 2x2 = 3.

Phương trình logx2+log2x=52

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + 2 \geq \frac{8}{a + b}$

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Phương trình $\log_{x} 2 + \log_{2} x = \frac{5}{2}$