Chứng minh rằng: 1a2+1b2+2≥8a+b

Ta có: 1a2+1b2≥2⋅1a⋅1b⇔21a2+1b2≥1a2+1b2+2⋅1a⋅1b⇔21a2+1b2≥1a+1b2(1) Mặt khác: 1a+1b−22≥0⇔1a+1b2−41a+1b+4≥0⇔1a+1b2+4≥41a+1b(2) Lại có: (a + b)2 ≥ 4ab ⇔a+bab≥4a+b⇔1a+1b≥4a+b(3) Từ (1), (2), (3) ⇒ 21a2+1b2+4≥1a+1b2+4≥41a+1b≥16a+b ⇔1a2+1b2+2≥8a+b (với a, b > 0)

Câu hỏi:

26/07/2023 827

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + 2 \geq \frac{8}{a + b}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 2 \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \\ \Leftrightarrow 2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + 2 \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \\ \Leftrightarrow 2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} (1) \end{array}$

Mặt khác:

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - 2)}^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} - 4 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + 4 \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} + 4 \geq 4 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (2) \end{array}$

Lại có: (a + b)² ≥ 4ab

\Leftrightarrow \frac{a + b}{a b} \geq \frac{4}{a + b} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b} (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ $2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) + 4 \geq {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} + 4 \geq 4 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq \frac{16}{a + b}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + 2 \geq \frac{8}{a + b}$ (với a, b > 0)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{M B} = \vec{M C}$

B. $\vec{A M} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\vec{A M}$ = a

D. $|\vec{A M}| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $A M^{2} = \frac{A C^{2} + A B^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4} = \frac{a^{2} + a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 a}{4}$

$\Rightarrow A M = \frac{\sqrt{3} a}{2} \Rightarrow |\vec{A M}| = \frac{\sqrt{3} a}{2}$

Đáp án đúng là: D

Câu 2

Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X”

Khi đó $|Ω| = Α_{9}^{6} = 60 480$

Gọi A là biến cố: “Số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ”. Khi đó:

+ Chọn 3 chữ số lẻ đôi một khác nhau từ các chữ số 1; 3; 5; 7; 9 có $C_{5}^{3}$ cách

+ Chọn 3 chữ số chẵn đôi một khác nhau từ các chữ số 2; 4; 6; 8 có $C_{4}^{3}$ cách

+ Sắp xếp các chữ số trên để được số thỏa mãn biến cố A có 6! cách

Do đó $|Ω_{A}| = C_{5}^{3} . C_{4}^{3} .6! = 28 800$

Vậy xác suất cần tìm là: $P (A) = \frac{|Ω_{A}|}{|Ω|} = \frac{28800}{60480} = \frac{10}{21}$

Câu 3

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 0, d > 0;

B. a < 0, d > 0;

C. a > 0, d < 0;

D. a < 0, d < 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

A. $S = \{- \frac{π}{6} + k π, \frac{7 π}{12} + k π, k \in ℤ\}$

B. $S = \{- \frac{π}{12} + k π, \frac{7 π}{12} + k π, k \in ℤ\}$

C. $S = \{- \frac{π}{6} + k π, \frac{7 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ\}$

D. $S = \{- \frac{π}{12} + k 2 π, \frac{7 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ\}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

A. C(5; -4);

B. C(5; 4);

C. C(-5; 4);

D. C(-5; -4).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Chứng minh rằng: 1a2+1b2+2≥8a+b

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng?

Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ.

Cho hàm số y = ax3 + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của phương trình 2sin2x + 1 = 0 là:

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x1, x2 thỏa mãn x1 – 2x2 = 3.

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G 13;0 là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) mx+2y=m+12x+my=2m−1

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + 2 \geq \frac{8}{a + b}$

Cho hàm số y = ax³ + 3x + d (a, d ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

b) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiêm x₁, x₂ thỏa mãn x₁– 2x₂ = 3.

Cho tam giác ABC với A(-3; 6); B(9; -10) và G $(\frac{1}{3}; 0)$ là trọng tâm. Tìm tọa độ điểm C

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a) $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$