Câu hỏi:

13/07/2024 21,352

Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB CD.

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc CD. (ảnh 1)

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

 MN // AB; MN = 12 AB = a2                                     (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

 MP // CD; MP = 12 CD = a2                                        (2)

Từ (1) và (2) MN = MP = a2

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = a32

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = a32

 Xét tam giác BCP có: BP = CP = a32

 Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC  PN là đường trung tuyến nên PN CN

PN = CP2CN2=a322a22=a22 

Xét tam giác MNP:

MP2 + MN2 = a22+a22=2a24 ; PN2a222=2a24

 MP2 + MN2 = PN2

 Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = NMP^=90°.

Vậy AB CD.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = a3, SA AB và SA AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.

Xem đáp án » 13/07/2024 18,742

Câu 2:

Cho hình hộp ABCD.ABCD có 6 mặt đều là hình vuông M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, BA, AA′, AD. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) MN và DD;            

Xem đáp án » 13/07/2024 16,663

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, BSA^=CSA^=60°,BSC^=90°. Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ SA và IJ BC.

Xem đáp án » 13/07/2024 15,508

Câu 4:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC.

Xem đáp án » 13/07/2024 14,154

Câu 5:

Cho hình hộp ABCD.ABCD có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng:

a) AB và BB;  

Xem đáp án » 13/07/2024 8,459

Câu 6:

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông.

a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương và vuông góc với AC.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,093