Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, BSA^=CSA^=60°,BSC^=90°. Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ ⊥ BC.

Xét tam giác SAB có: SA = SB = a BSA^=60° Tam giác SAB đều. Mà I là trung điểm của SA ⇒ IB = a32 Xét tam giác SAC có: SA = SC = a ASC^=60° ⇒ Tam giác SAC đều. Mà I là trung điểm của SA ⇒ IC = a32 Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S. ⇒BC=SB2+SC2=a2 Xét tam giác ABC: AB = AC = a AB2 + AC2 = a2 + a2 = 2a2 BC2 = a22= 2a2 ⇒ AB2 + AC2 = BC2 Tam giác ABC vuông cân tại A. Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ ⊥ BC ⇒ AJ = AB2−BJ2=a2−a222=a22 Xét tam giác SBC vuông cân tại S: Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ SJ ⊥ BC ⇒ SJ = SB2−BJ2=a2−a222=a22 Xét tam giác JSA: AJ = SJ = a22 Tam giác JSA cân tại J. Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA. hay IJ ⊥ SA. Xét tam giác IBC: IB = IC = a32 Tam giác IBC cân tại I. Mà J là trung điểm của BC ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC. hay IJ ⊥ BC.

Câu hỏi:

13/07/2024 16,786

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\hat{B S A} = \hat{C S A} = 60 °, \hat{B S C} = 90 ° .$ Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ ⊥ BC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, góc BSA= góc CSA= 60 độ, góc BSC= 90 độ (ảnh 1)

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a

$\hat{B S A} = 60 °$

Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IB = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a

$\hat{A S C} = 60 °$

$\Rightarrow$ Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IC = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

$\Rightarrow BC = \sqrt{{SB}^{2} + {SC}^{2}} = a \sqrt{2}$

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

AB² + AC² = a² + a² = 2a²

BC² = ${(a \sqrt{2})}^{2}$ = 2a²

$\Rightarrow$ AB² + AC² = BC²

Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC $\Rightarrow$ AJ ⊥ BC

$\Rightarrow$ AJ = $\sqrt{{AB}^{2} - {BJ}^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC $\Rightarrow$ SJ ⊥ BC

$\Rightarrow$ SJ = $\sqrt{{SB}^{2} - {BJ}^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác JSA:

AJ = SJ = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥ SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC $\Rightarrow$ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.

hay IJ ⊥ BC.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc CD. (ảnh 1)

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN // AB; MN = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{a}{2}$ (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

$\Rightarrow$ MP // CD; MP = $\frac{1}{2}$ CD = $\frac{a}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ MN = MP = $\frac{a}{2}$

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác BCP có: BP = CP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow$ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC $\Rightarrow$ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN = $\sqrt{C P^{2} - C N^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác MNP:

MP² + MN² = ${(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{2 a^{2}}{4}$ ; PN² = ${(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{2 a^{2}}{4}$

$\Rightarrow$ MP² + MN² = PN²

Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = $\hat{N M P} = 90 °$ .

Vậy AB ⊥ CD.

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = $a \sqrt{3}$ , SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = a căn bậc hai 3 (ảnh 1)

Câu 3

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, BA, AA′, A′D′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) MN và DD′;

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng:

a) AB và BB′;

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông.

a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương và vuông góc với AC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, BSA^=CSA^=60°,BSC^=90°. Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ ⊥ BC.

Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = a3, SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, BA, AA′, A′D′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng: a) MN và DD′;

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC.

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng: a) AB và BB′;

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông. a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương và vuông góc với AC.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\hat{B S A} = \hat{C S A} = 60 °, \hat{B S C} = 90 ° .$ Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ ⊥ BC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = $a \sqrt{3}$ , SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, BA, AA′, A′D′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) MN và DD′;

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng:

a) AB và BB′;

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông.

a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương và vuông góc với AC.