Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{BSA}=\widehat{CSA}=60°,\widehat{BSC}=90°.$ Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ ⊥ BC.

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a

$\widehat{BSA}=60°$

 Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IB = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a

$\widehat{ASC}=60°$

$\Rightarrow$ Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IC = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

$\Rightarrow \text{BC}=\sqrt{{\text{SB}}^2+{\text{SC}}^2}=a\sqrt{2}$

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

AB² + AC² = a² + a² = 2a²

BC² = ${\left(a\sqrt{2}\right)}^2$= 2a²

$\Rightarrow$ AB² + AC² = BC²

Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC $\Rightarrow$ AJ ⊥ BC

$\Rightarrow$ AJ = $\sqrt{{\text{AB}}^2-{\text{BJ}}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC $\Rightarrow$ SJ ⊥ BC

$\Rightarrow$ SJ = $\sqrt{{\text{SB}}^2-{\text{BJ}}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác JSA:

 AJ = SJ = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥ SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC $\Rightarrow$ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.

hay IJ ⊥ BC.