Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, BSA^=CSA^=60°,BSC^=90°. Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ ⊥ BC.

Xét tam giác SAB có: SA = SB = a BSA^=60° Tam giác SAB đều. Mà I là trung điểm của SA ⇒ IB = a32 Xét tam giác SAC có: SA = SC = a ASC^=60° ⇒ Tam giác SAC đều. Mà I là trung điểm của SA ⇒ IC = a32 Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S. ⇒BC=SB2+SC2=a2 Xét tam giác ABC: AB = AC = a AB2 + AC2 = a2 + a2 = 2a2 BC2 = a22= 2a2 ⇒ AB2 + AC2 = BC2 Tam giác ABC vuông cân tại A. Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ ⊥ BC ⇒ AJ = AB2−BJ2=a2−a222=a22 Xét tam giác SBC vuông cân tại S: Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ SJ ⊥ BC ⇒ SJ = SB2−BJ2=a2−a222=a22 Xét tam giác JSA: AJ = SJ = a22 Tam giác JSA cân tại J. Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA. hay IJ ⊥ SA. Xét tam giác IBC: IB = IC = a32 Tam giác IBC cân tại I. Mà J là trung điểm của BC ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC. hay IJ ⊥ BC.

Câu hỏi:

13/07/2024 25,144

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\hat{B S A} = \hat{C S A} = 60 °, \hat{B S C} = 90 ° .$ Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ ⊥ BC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, góc BSA= góc CSA= 60 độ, góc BSC= 90 độ (ảnh 1)

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a

$\hat{B S A} = 60 °$

Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IB = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a

$\hat{A S C} = 60 °$

$\Rightarrow$ Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IC = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

$\Rightarrow BC = \sqrt{{SB}^{2} + {SC}^{2}} = a \sqrt{2}$

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

AB² + AC² = a² + a² = 2a²

BC² = ${(a \sqrt{2})}^{2}$ = 2a²

$\Rightarrow$ AB² + AC² = BC²

Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC $\Rightarrow$ AJ ⊥ BC

$\Rightarrow$ AJ = $\sqrt{{AB}^{2} - {BJ}^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC $\Rightarrow$ SJ ⊥ BC

$\Rightarrow$ SJ = $\sqrt{{SB}^{2} - {BJ}^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác JSA:

AJ = SJ = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA $\Rightarrow$ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥ SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC $\Rightarrow$ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.

hay IJ ⊥ BC.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Lớp 11 Toán

152 người thi tuần này

Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

20 câu 2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Vật lý

197 người thi tuần này

Trắc nghiệm Mô tả sóng lớp 11 (có đáp án)

10 câu 6.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Hóa học

348 người thi tuần này

Trắc nghiệm Khái niệm về cân bằng hoá học lớp 11 (có đáp án - phần 1)

15 câu 10.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Tiếng Anh

142 người thi tuần này

Đề cương ôn tập giữa kì 1 Tiếng Anh 11 Global Success có đáp án

50 câu 1.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Sinh học

154 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Sinh học 11 Kết nối tri thức Bài 8 có đáp án

15 câu 3.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Lịch sử

1,460 người thi tuần này

25 câu Trắc nghiệm Lịch Sử 11 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

25 câu 20.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Tin học

849 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Tin học 11 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

15 câu 9.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

166 người thi tuần này

16 câu Trắc nghiệm Kinh tế pháp luật 11 Kết nối tri thức Bài 2 có đáp án

16 câu 3.9 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc CD. (ảnh 1)

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN // AB; MN = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{a}{2}$ (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

$\Rightarrow$ MP // CD; MP = $\frac{1}{2}$ CD = $\frac{a}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ MN = MP = $\frac{a}{2}$

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác BCP có: BP = CP = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow$ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC $\Rightarrow$ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN = $\sqrt{C P^{2} - C N^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác MNP:

MP² + MN² = ${(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{2 a^{2}}{4}$ ; PN² = ${(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{2 a^{2}}{4}$

$\Rightarrow$ MP² + MN² = PN²

Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = $\hat{N M P} = 90 °$ .

Vậy AB ⊥ CD.

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = $a \sqrt{3}$ , SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = a căn bậc hai 3 (ảnh 1)

Câu 3

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, BA, AA′, A′D′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) MN và DD′;

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều ABCDEF song song với mặt bàn và có cạnh AB song song với cạnh bàn a (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF, AE và AD.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng:

a) AB và BB′;

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\hat{B S A} = \hat{C S A} = 60 °, \hat{B S C} = 90 ° .$ Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ ⊥ BC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = $a \sqrt{3}$ , SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.