Câu hỏi:

02/11/2023 2,825

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B'AC) tạo với đáy một góc 30°, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D'AC) bằng $\frac{a}{2}$ . Tính thể tích khối tứ diện ACB'D'.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán học 11 CTST Bài tập cuối chương VIII có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi O = AC Ç BD. Ta có:

$\{\begin{cases} A C ⊥ B D \\ A C ⊥ B B' \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ (B B' D) \Rightarrow A C ⊥ B' O .$

Khi đó: $B O ⊥ A C, B' O ⊥ A C, (A B C D) \cap (B' A C) = A C,$

$\Rightarrow ((B' A C), (A B C D)) = (B O, O B') = \hat{B' O B} = 30 ° .$

Dễ thấy $d (B, (D' A C)) = d (D, (D' A C)) = \frac{a}{2}$

$A C ⊥ (B B' D' D) \Rightarrow (D' A C) ⊥ (B B' D' D)$

$(D' A C) \cap (B B' D' D) = D' O .$

Từ D kẻ DH ^ D¢O (H Î DO), suy ra $d (D, (D' A C)) = D H = \frac{a}{2} .$

Xét ∆B¢BO: $\tan 30 ° = \frac{B B'}{B O} \Rightarrow O D = B O = \sqrt{3} B B' .$

Xét ∆D¢DO: $\frac{1}{H D^{2}} = \frac{1}{O D^{2}} + \frac{1}{D' D^{2}} \Rightarrow \frac{4}{a^{2}} = \frac{1}{3. B' B^{2}} + \frac{1}{D' D^{2}}$ $\Rightarrow D D' = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow O B = a .$

Gọi I = BD Ç B¢O, suy ra $\frac{B I}{D' I} = \frac{1}{2} .$

$\Rightarrow d (D', (B' A C)) = 2 d (B, (B' A C)) \Rightarrow V_{A C B' D'} = 2 V_{B' A B C} .$

Mà $O A = \sqrt{A B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3} .$

$\Rightarrow S_{A B C} = 2 S_{A B O} = 2. \frac{1}{2} . O B . O A = a^{2} \sqrt{3} .$

Suy ra $V_{B' . A B C} = \frac{1}{3} . B B' . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a}{\sqrt{3}} . a^{2} \sqrt{3} = \frac{a^{3}}{3} .$

Vậy $V_{A C B' D'} = \frac{2 a^{3}}{3} .$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tỉnh khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, I là hình chiếu của H trên đường thẳng đó.

Ta có BC // (SAI)

Suy ra d(BC, SA) = d(BC, (SAI))

= d(B, (SAI)) = $\frac{3}{2} d (H, (S A I))$

Gọi K là hình chiếu của H trên SI.

Dễ dàng chứng minh được AI ^ (SHI) Þ AI ^ HK.

Þ HK ^ (SAI) Þ d(H, (SAI)) = HK.

$\hat{H A I} = 180 ° - (60 ° + 60 °) = 60 °$

Tam giác AIH vuông tại I:

$\begin{array}{l} I H = A H . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{3} . \\ (S C, (A B C)) = (S C, C H) = \hat{S C H} = 60 ° . \\ C H^{2} = B C^{2} + B H^{2} - 2. B C . B H . \cos 60 ° = \frac{7 a^{2}}{9} \Rightarrow C H = \frac{a \sqrt{7}}{3} . \end{array}$

Tam giác SHC vuông tại H: $S H = H C . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{21}}{3} .$

Tam giác SHI vuông tại H:

$\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H I^{2}} \Rightarrow H K = \frac{a \sqrt{42}}{12} .$

$d (B, (S A I)) = \frac{3}{2} . H K = \frac{a \sqrt{42}}{8} .$

$\Rightarrow d (S A, B C) = \frac{a \sqrt{42}}{8} .$

Câu 2

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) BC ^ (OAH).

b) H là trực tâm của ∆ABC.

c) $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có: $\{\begin{cases} O A ⊥ O B \\ O A ⊥ O C \end{cases}$

$\Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C . (1)$

$O H ⊥ B C (O H ⊥ (A B C)) . (2)$

Từ (1) và (2) Þ BC ^ (OAH).

b) Từ a) Þ BC ^ AH. (*)

Ta dễ dàng chứng minh được OC ^ (OAB) Þ OC ^ AB. (3)

Lại có: OH ^ AB (do OH ^ (ABC)) Þ OH ^ AB. (4)

Từ (3) và (4) Þ AB ^ (OHC) hay AB ^ HC. (**)

Từ (*) và (**) Þ H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Dễ thấy OD, OH là các đường cao của tam giác OBC và OAD.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$\{\begin{cases} \frac{1}{O D^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} \\ \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O D^{2}} \end{cases}$

Do đó $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} .$

Câu 3