Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc x2a2−y2b2=1, a,b>0. Biết (H) có hai tiêu điểm F1, F2 nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm M4345;95 sao cho t...

Hướng dẫn giải: Đáp án đúng là: A Ta có c=a2+b2=OF1=OF2 và MO=43452+952=5. Mà tam giác MF1F2 vuông tại M có đường trung tuyến MO ứng với cạnh huyền F1F2 nên MO=12F1F2 Suy ra F1F2 = 2OM = 10. Mà F1F2 = 2c nên 2c = 10 do đó c = 5. Ta có c2 = a2 + b2 nên a2 + b2 = 25 nên b2 = 25 – a2. Vì (H) đi qua điểm M4345;95 nên ta có 43452a2−952b2=1 hay 54425a2−8125b2=1 Do đó 544a2−81b2=25 (*) Thay b2 = 25 – a2 vào (*) ta được: 544a2−8125−a2=25⇔54425−a2−81a2=25a225−a2 ⇔ 13 600 – 544a2 – 81a2 = 625a2 – 25a4 ⇔ 25a4 – 1 250a2 + 13 600 = 0 ⇔ a2 = 34 hoặc a2 = 16 Với a2 = 34 ta có b2 = 25 – a2 = 25 – 34 = –9 (loại). Với a2 = 16 ta có b2 = 25 – a2 = 25 – 16 = 9. Do đó b = 3 (do b > 0). Khi a2 = 16 thì a = 4 (do a > 0). Vậy a.b = 12.

Câu hỏi:

06/12/2023 3,665

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, a, b > 0.$ Biết (H) có hai tiêu điểm F₁, F₂ nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm $M (\frac{4 \sqrt{34}}{5}; \frac{9}{5})$ sao cho tam giác MF₁F₂ vuông tại M. Tích a.b bằng

A. a.b = 12;

B. a.b = 15;

C. a.b = 20;

D. a.b = 10.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10 Bài tập Lập phương trình chính tắc của hypebol (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = O F_{1} = O F_{2}$ và $M O = \sqrt{{(\frac{4 \sqrt{34}}{5})}^{2} + {(\frac{9}{5})}^{2}} = 5$ .

Mà tam giác MF₁F₂ vuông tại M có đường trung tuyến MO ứng với cạnh huyền F₁F₂ nên $M O = \frac{1}{2} F_{1} F_{2}$

Suy ra F₁F₂ = 2OM = 10.

Mà F₁F₂ = 2c nên 2c = 10 do đó c = 5.

Ta có c² = a² + b² nên a² + b² = 25 nên b² = 25 – a².

Vì (H) đi qua điểm $M (\frac{4 \sqrt{34}}{5}; \frac{9}{5})$ nên ta có $\frac{{(\frac{4 \sqrt{34}}{5})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(\frac{9}{5})}^{2}}{b^{2}} = 1$ hay $\frac{544}{25 a^{2}} - \frac{81}{25 b^{2}} = 1$

Do đó $\frac{544}{a^{2}} - \frac{81}{b^{2}} = 25$ (*)

Thay b² = 25 – a² vào (*) ta được:

$\frac{544}{a^{2}} - \frac{81}{25 - a^{2}} = 25 \Leftrightarrow 544 (25 - a^{2}) - 81 a^{2} = 25 a^{2} (25 - a^{2})$

⇔ 13 600 – 544a² – 81a² = 625a² – 25a⁴

⇔ 25a⁴ – 1 250a² + 13 600 = 0

⇔ a² = 34 hoặc a² = 16

Với a² = 34 ta có b² = 25 – a² = 25 – 34 = –9 (loại).

Với a² = 16 ta có b² = 25 – a² = 25 – 16 = 9. Do đó b = 3 (do b > 0).

Khi a² = 16 thì a = 4 (do a > 0).

Vậy a.b = 12.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có hai tiêu điểm F₁, F₂ nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm có hoành độ bằng −5 và $M F_{1} = \frac{9}{4}; M F_{2} = \frac{41}{4} .$ Phương trình chính tắc của hypebol (H) là

A. $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ;

\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình đường hypebol $(H)$ có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, a, b > 0.$

Ta có $|M F_{1} - M F_{2}| = |\frac{9}{4} - \frac{41}{4}| = 8.$

Mà |MF₁ – MF₂| = 2a nên 2a = 8, do đó a = 4.

Gọi M(−5; y₀) và F₁(−c; 0), F₂(c; 0).

Khi đó $M F_{1}^{2} = {(- c + 5)}^{2} + {(- y_{0})}^{2}; M F_{2}^{2} = {(c + 5)}^{2} + {(- y_{0})}^{2} .$

Do đó ${(c - 5)}^{2} + y_{0}^{2} = \frac{81}{16}; {(c + 5)}^{2} + y_{0}^{2} = \frac{1 681}{16} .$

Suy ra ${(c + 5)}^{2} - {(c - 5)}^{2} = \frac{1 681}{16} - \frac{81}{16}$

Hay 20c = 100 nên c = 5.

Ta có c² = a² + b² nên b² = c² – a² = 25 – 16 = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $(H) : \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol đi qua hai điểm $A (4 \sqrt{2}; 2)$ và $B (- 6; - \sqrt{5})$ là

A. $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{24} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{32} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ ;

\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử hypebol có phương trình là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, a, b > 0.$

Hai điểm $A (4 \sqrt{2}; 2), B (- 6; - \sqrt{5})$ thuộc vào hypebol nên ta có hệ phương trình sau:

$\{\begin{cases} \frac{32}{a^{2}} - \frac{4}{b^{2}} = 1 \\ \frac{36}{a^{2}} - \frac{5}{b^{2}} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{16} \\ \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 16 \\ b^{2} = 4 \end{cases}$ .

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol có một tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{10}; 0)$ và đi qua điểm $A (4; - \sqrt{2})$ là

A. $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ;

\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{2} = 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là $(\sqrt{34}; 0)$ và độ dài trục thực bằng 10 là

A. $(H) : \frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

B. $(H) : \frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = - 1$ ;

C. $(H) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

(H) : \frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là (5; 0) và độ dài trục ảo bằng 6 là

A. $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = - 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một hypebol có tiêu cự bằng 8 và giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 6. Phương trình chính tắc của hypebol đó là

A. $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ ;

\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{9} = 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học