Ta có: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

$= {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b) + c^{3} - 3 a b c$

$= {(a + b)}^{3} + c^{3} - 3 a b (a + b) - 3 a b c$

$= {(a + b)}^{3} + c^{3} - 3 a b (a + b + c)$

$= (a + b + c) [{(a + b)}^{2} - (a + b) c + c^{2}] - 3 a b (a + b + c)$

$= (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$

Suy ra $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ hay $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 0$

Nên $a + b + c = 0$ hoặc $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = 0 (*)$

Mặt khác $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 c a$

$= {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}$

Do đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}] \geq 0$ với mọi a, b, c

Nên để (*) xảy ra thì $\{\begin{cases} {(a - b)}^{2} = 0 \\ {(b - c)}^{2} = 0 \\ {(c - a)}^{2} = 0 \end{cases}$ , hay $\{\begin{cases} a - b = 0 \\ b - c = 0 \\ c - a = 0 \end{cases}$ tức $a = b = c$ .

⦁ Trường hợp 1: $a + b + c = 0$

Suy ra $a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b$

Khi đó $A = (1 + \frac{a}{b}) (1 + \frac{b}{c}) (1 + \frac{c}{a}) = \frac{a + b}{b} . \frac{b + c}{c} . \frac{c + a}{a} = \frac{- c}{b} . \frac{- a}{c} . \frac{- b}{a} = - 1.$

⦁ Trường hợp 2: $a = b = c$ thì ta được $A = (1 + \frac{a}{b}) (1 + \frac{b}{c}) (1 + \frac{c}{a}) = 2.2.2 = 8$ .

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Đơn thức nào sau đây đồng dạng với đơn thức $- 3 x^{2} y$ ?