Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tất cả các số n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 đều là số nguyên tố.

n không thể là số lẻ vì lúc đó ít nhất 6 số chẵn > 2 nên không thể là số nguyên tố.

Dễ thấy với n = 2 số n + 7 = 9 là hợp số ⇒ loại

Với n = 4 số n + 5 = 9 là hợp số.

Với n = 6 dễ thấy cả 7 số đều là số nguyên tố. 

Dễ thấy là trong 7 số đã cho có 1 số chia hết cho 7.

Thật thế 7 số đã cho khi chia cho 7 có cùng số dư với 7 số n + 1, n + 5, n + 7, n + 6, n + 3, n + 4, n + 2 mà trong 7 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 7. 

⇒ với n ≥ 8 trong 7 số đã cho có 1 số chia hết cho 7 và > 7 nên là hợp số. 

⇒ số duy nhất thỏa mãn là n = 6.

Vậy n = 6.