Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M tùy ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn $\frac{AB}{2}.$

a) Gọi H là trung điểm của AB.

Suy ra $AH=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}.$

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{OHA}$ và $\widehat{OHB}$ là hai góc bù nhau nên $\widehat{OHA}+\widehat{OHB}=180°$ hay $2\widehat{OHB}=180°$

Suy ra $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90°$ nên OH ⊥ AB

Do đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn OH.

Xét tam giác OAH vuông tại H có:

AH² + OH² = OA² (định lý Pythagore)

Hay OH² = OA² − AH² = 5² − 3² = 16.

Nên OH = 4 cm.

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng 4 cm.

Gọi H là trung điểm của AB.

Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là $\widehat{AOB}=100°$.

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra $\widehat{HOA}=\widehat{HOB}$ (hai góc tương ứng).

Lại có: $\widehat{HOA}+\widehat{HOB}=\widehat{AOB}$ nên $2\widehat{HOA}=\widehat{AOB}=100°$ hay $\widehat{HOA}=50°.$

Xét tam giác OAH vuông tại H có: $\cos \widehat{HOA}=\frac{OH}{OA}$

Suy ra $OA=\frac{OH}{\cos \widehat{HOA}}=\frac{3}{\cos 50°}\approx 4,7\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}.$

Vậy bán kính của đường tròn (O) khoảng 4,7 cm.