Cho đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng với điểm A bất kì (khác B và C) trên đường tròn, ta đều có: BC < AB + AC < 2BC.

a) Gọi H là trung điểm của AB.

Suy ra $AH=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}.$

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{OHA}$ và $\widehat{OHB}$ là hai góc bù nhau nên $\widehat{OHA}+\widehat{OHB}=180°$ hay $2\widehat{OHB}=180°$

Suy ra $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90°$ nên OH ⊥ AB

Do đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn OH.

Xét tam giác OAH vuông tại H có:

AH² + OH² = OA² (định lý Pythagore)

Hay OH² = OA² − AH² = 5² − 3² = 16.

Nên OH = 4 cm.

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng 4 cm.

Gọi H là hình chiếu của M trên AB.

Khi đó khoảng cách từ M đến AB bằng độ dài đoạn MH.

Xét tam giác MHO vuông tại H có: MH ≤ MO.

Lại có $OM=\frac{AB}{2}$ (do AB là đường kính, OM là bán kính của đường tròn (O)).

Vậy $MH\le \frac{AB}{2}.$