Câu hỏi:
22/06/2024 26Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và . Gọi β là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).
a) Tính thể tích V của β theo a và α.
b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
a) Xét tam giác OAB vuông tại A, có AB = OA.tanα = a.tanα.
Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy r = AB = a.tanα và chiều cao h = OA = a.
Do đó \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \).
b) Có \(V' = \frac{1}{3}\pi {a^3}.2\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
Vì \(0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}\) Þ 0 < tanα ≤ 1 nên V' > 0. Do đó V là hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}\).
Vậy \(\alpha = \frac{\pi }{4}\) thì thể tích khối nón là lớn nhất.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x2 + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).
a) Giả sử S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = −x2 + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính S1, S2 và từ đó suy ra S.
b) Tính và so sánh với S.
Câu 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số , y = x – 2 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Câu 3:
Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S0, S1 và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.
Câu 4:
a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r, quanh trục Ox (H.4.28).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.
Câu 5:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).
Câu 6:
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h ≤ R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình , trục hoành và hai đường thẳng x = R – h, x = R xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Câu 7:
Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = f(x) = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = −2; x = 1 (H.4.12).
a) Tính diện tích S của hình phẳng này.
b) Tính và so sánh với S.
về câu hỏi!