Câu hỏi:

13/07/2024 34,671

Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và AOB^=α0<απ4. Gọi β là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).

a) Tính thể tích V của β theo a và α.

b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất.

Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Xét tam giác OAB vuông tại A, có AB = OA.tanα = a.tanα.

Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy r = AB = a.tanα và chiều cao h = OA = a.

Do đó \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \).

b) Có \(V' = \frac{1}{3}\pi {a^3}.2\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

\(0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}\) Þ 0 < tanα ≤ 1 nên V' > 0. Do đó V là hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}\).

Vậy \(\alpha = \frac{\pi }{4}\) thì thể tích khối nón là lớn nhất.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là:

\(S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1723} \right)}^2} - x} \right|dx} \)

\( = \int\limits_0^{100} {\left| {\left( {{{0,00061}^2}{x^4} + {{4,7524.10}^{ - 4}}{x^2} + {{1723}^2} + {{2,6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10206{x^2} + 75,1228x} \right) - x} \right|dx} \)

\( = \int\limits_0^{100} {\left| {\left( {{{0,00061}^2}{x^4} + {{2,6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10253524{x^2} + 74,1228x + {{1723}^2}} \right)} \right|dx} \)

\( = \int\limits_0^{100} {\left( {{{0,00061}^2}{x^4} + {{2,6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10253524{x^2} + 74,1228x + {{1723}^2}} \right)dx} \)

\[ = \left. {\left( {{{7,442.10}^{ - 8}}.{x^5} + {{6,649.10}^{ - 6}}.{x^4} + 0,70084508.{x^3} + 37,0614.{x^2} + {{1723}^2}.x} \right)} \right|_0^{100}\]

\[ = {7,442.10^{ - 8}}{.100^5} + {6,649.10^{ - 6}}{.100^4} + {0,70084508.100^3} + {37,0614.100^2} + {1723^2}.100\]

= 297945768,2.

Lời giải

Thể tích cần tìm là:

\(V = \pi \int\limits_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx} \)\( = \pi \left. {\left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{R - h}^R\)

\( = \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}\left( {R - h} \right) + \frac{{{{\left( {R - h} \right)}^3}}}{3}} \right)\)\( = \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^3} + {R^2}h + \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}h + R{h^2} - \frac{{{h^3}}}{3}} \right)\)

\( = \pi \left( {R{h^2} - \frac{{{h^3}}}{3}} \right)\)\( = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay