b) $\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$$ = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x + 1} \right|} dx$$ = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + 1} \right|} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|} dx$$ = - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)} dx$

\[ = - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1\]\[ = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\].

Vậy $S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$.

Câu 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x² – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).

Xem đáp án

Lời giải

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$\int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx$$ = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx$$ = \int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)} dx$

$ = \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^3$$ = \frac{{16}}{3} - 3 + \frac{{16}}{3} = \frac{{23}}{3}$.

Câu 3

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x² + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).

a) Giả sử S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = −x² + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính S₁, S₂ và từ đó suy ra S.

b) Tính $\int_{1}^{3} |f (x) - g (x)| d x$ và so sánh với S.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có ${S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} $$ = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} $$ = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_1^3$$ = 9 - \frac{5}{3} = \frac{{22}}{3}$.

${S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|} dx$$ = \int\limits_1^3 x dx$$ = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4$.

Do đó S = S₁ – S₂ = $\frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}$.

b) $\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx$$ = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} dx$$ = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|} dx$$ = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)} dx$

$ = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 3.\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3$$ = \frac{9}{2} - \frac{7}{6} = \frac{{10}}{3}$.

Vậy $S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx$.

Câu 4

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y = \sqrt{x}$ , y = x – 2 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Xem đáp án

Lời giải

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = căn x , y = x – 2 và hai đường thẳng x = 1, x = 4. (ảnh 1)

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int\limits_1^4 {\left| {\sqrt x - x + 2} \right|dx} $$ = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x - x + 2} \right)dx} $$ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^4$$ = \frac{{16}}{3} - \frac{{13}}{6} = \frac{{19}}{6}$.

Câu 5

Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau (x₀; p₀) của đồ thị hàm cầu p = D(x) và đồ thị hàm cung p = S(x) được gọi là điểm cân bằng.

Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p = p₀ và đường thẳng đứng x = 0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang p = p₀ và đường thẳng đứng x = 0 được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: p = −0,36x + 9 và hàm cung: p = 0,14x + 2, trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Xem đáp án

Lời giải

Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình:

−0,36x + 9 = 0,14x + 2 Û x = 14.

Tọa độ điểm cân bằng là (14; 3,96).

Thặng dư tiêu dùng là:

${S_1} = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0,36x + 9 - 3,96} \right|} dx$$ = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0,36x + 5,04} \right|} dx$$ = \int\limits_0^{14} {\left( { - 0,36x + 5,04} \right)} dx$

$ = \left. {\left( { - 0,18{x^2} + 5,04x} \right)} \right|_0^{14} = 35,28$.

Thặng dư sản xuất là:

${S_2} = \int\limits_0^{14} {\left| {3,96 - 0,14x - 2} \right|} dx$$ = \int\limits_0^{14} {\left| {1,96 - 0,14x} \right|} dx$$ = \int\limits_0^{14} {\left( {1,96 - 0,14x} \right)} dx$

$ = \left. {\left( {1,96x - 0,07{x^2}} \right)} \right|_0^{14}$$ = 13,72$.

Câu 6