Câu hỏi:
22/06/2024 41Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S0, S1 và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ O đến đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp. Khi đó chiều cao của hình chóp cụt là h = b – a.
Thiết diện của khối chóp cụt khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn của hình chóp cụt theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{x}{b}\).
Khi đó \(\frac{{S\left( x \right)}}{{{S_1}}} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}.{S_1}\).
Do đó thể tích khối chóp cụt đều là:
\(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}{S_1}} dx = \left. {\frac{{{S_1}}}{{{b^2}}}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_a^b\)\( = \frac{{{S_1}}}{{3{b^2}}}\left( {{b^3} - {a^3}} \right)\)
\( = \frac{{b - a}}{{3{b^2}}}.\left( {{S_1}{b^2} + {S_1}ab + {S_1}{a^2}} \right)\)\( = \frac{h}{3}.\left[ {{S_1} + {S_1}\frac{a}{b} + {S_1}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}} \right]\).
Vì \(\frac{{{S_0}}}{{{S_1}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} \Rightarrow {S_0} = {S_1}.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}\); \({S_0}{S_1} = S_1^2.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}\)\( \Rightarrow \sqrt {{S_0}{S_1}} = {S_1}.\frac{a}{b}\).
Do đó \(V = \frac{h}{3}.\left[ {{S_1} + \sqrt {{S_1}.{S_0}} + {S_0}} \right]\).
Khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều khi S0 = 0.
Do đó thể tích khối chóp đều là: \(V = \frac{1}{3}.S.h\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x2 + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).
a) Giả sử S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = −x2 + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính S1, S2 và từ đó suy ra S.
b) Tính và so sánh với S.
Câu 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số , y = x – 2 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Câu 3:
a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r, quanh trục Ox (H.4.28).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.
Câu 4:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).
Câu 5:
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h ≤ R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình , trục hoành và hai đường thẳng x = R – h, x = R xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Câu 6:
Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = f(x) = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = −2; x = 1 (H.4.12).
a) Tính diện tích S của hình phẳng này.
b) Tính và so sánh với S.
về câu hỏi!