Câu hỏi:

12/07/2024 3,379

Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S₀, S₁ và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ O đến đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp. Khi đó chiều cao của hình chóp cụt là h = b – a.

Thiết diện của khối chóp cụt khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn của hình chóp cụt theo tỉ số đồng dạng là $\frac{x}{b}$.

Khi đó $\frac{{S\left( x \right)}}{{{S_1}}} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}.{S_1}$.

Do đó thể tích khối chóp cụt đều là:

$V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}{S_1}} dx = \left. {\frac{{{S_1}}}{{{b^2}}}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_a^b$$ = \frac{{{S_1}}}{{3{b^2}}}\left( {{b^3} - {a^3}} \right)$

$ = \frac{{b - a}}{{3{b^2}}}.\left( {{S_1}{b^2} + {S_1}ab + {S_1}{a^2}} \right)$$ = \frac{h}{3}.\left[ {{S_1} + {S_1}\frac{a}{b} + {S_1}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}} \right]$.

Vì $\frac{{{S_0}}}{{{S_1}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} \Rightarrow {S_0} = {S_1}.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}$; ${S_0}{S_1} = S_1^2.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}$$ \Rightarrow \sqrt {{S_0}{S_1}} = {S_1}.\frac{a}{b}$.

Do đó $V = \frac{h}{3}.\left[ {{S_1} + \sqrt {{S_1}.{S_0}} + {S_0}} \right]$.

Khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều khi S₀ = 0.

Do đó thể tích khối chóp đều là: $V = \frac{1}{3}.S.h$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và $\hat{A O B} = α (0 < α \leq \frac{π}{4})$ . Gọi β là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).

a) Tính thể tích V của β theo a và α.

b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét tam giác OAB vuông tại A, có AB = OA.tanα = a.tanα.

Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy r = AB = a.tanα và chiều cao h = OA = a.

Do đó $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha $.

b) Có $V' = \frac{1}{3}\pi {a^3}.2\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$.

Vì $0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}$ Þ 0 < tanα ≤ 1 nên V' > 0. Do đó V là hàm số đồng biến trên $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} V = V\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}$.

Vậy $\alpha = \frac{\pi }{4}$ thì thể tích khối nón là lớn nhất.

Câu 2

Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là phần trăm tổng thu nhập, mô hình y = x sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz y = f(x), biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với 0 ≤ x ≤ 100, biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường con Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số

y = (0,00061x² + 0,0218x + 1723)², 0 ≤ x ≤ 100,

trong đó x được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005.

Xem đáp án

Lời giải

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là:

$S = \int\limits_0^{100} {\left| {{{\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1723} \right)}^2} - x} \right|dx} $

$ = \int\limits_0^{100} {\left| {\left( {{{0,00061}^2}{x^4} + {{4,7524.10}^{ - 4}}{x^2} + {{1723}^2} + {{2,6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10206{x^2} + 75,1228x} \right) - x} \right|dx} $

$ = \int\limits_0^{100} {\left| {\left( {{{0,00061}^2}{x^4} + {{2,6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10253524{x^2} + 74,1228x + {{1723}^2}} \right)} \right|dx} $

$ = \int\limits_0^{100} {\left( {{{0,00061}^2}{x^4} + {{2,6596.10}^{ - 5}}{x^3} + 2,10253524{x^2} + 74,1228x + {{1723}^2}} \right)dx} $

\[ = \left. {\left( {{{7,442.10}^{ - 8}}.{x^5} + {{6,649.10}^{ - 6}}.{x^4} + 0,70084508.{x^3} + 37,0614.{x^2} + {{1723}^2}.x} \right)} \right|_0^{100}\]

\[ = {7,442.10^{ - 8}}{.100^5} + {6,649.10^{ - 6}}{.100^4} + {0,70084508.100^3} + {37,0614.100^2} + {1723^2}.100\]

= 297945768,2.

Câu 3

Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h ≤ R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = R – h, x = R xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau (x₀; p₀) của đồ thị hàm cầu p = D(x) và đồ thị hàm cung p = S(x) được gọi là điểm cân bằng.

Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p = p₀ và đường thẳng đứng x = 0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang p = p₀ và đường thẳng đứng x = 0 được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: p = −0,36x + 9 và hàm cung: p = 0,14x + 2, trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: y = 2x – x², y = 0, x = 0, x = 2.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = e^x, y = x² – 1, x = −1, x = 1;

b) y = sinx, y = x, $x = \frac{\pi }{2},x = \pi $;

c) y = 9 – x², y = 2x², $x = - \sqrt 3 ,x = \sqrt 3 $;

d) $y = \sqrt x ,$y = x², x = 0, x = 1.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x² – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S0, S1 và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và AOB^=α0<α≤π4. Gọi β là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31). a) Tính thể tích V của β theo a và α. b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất.

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: y = 2x – x2, y = 0, x = 0, x = 2.

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = ex, y = x2 – 1, x = −1, x = 1; b) y = sinx, y = x, \(x = \frac{\pi }{2},x = \pi \); c) y = 9 – x2, y = 2x2, \(x = - \sqrt 3 ,x = \sqrt 3 \); d) \(y = \sqrt x ,\)y = x2, x = 0, x = 1.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S₀, S₁ và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: y = 2x – x², y = 0, x = 0, x = 2.

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = e^x, y = x² – 1, x = −1, x = 1;

b) y = sinx, y = x, \(x = \frac{\pi }{2},x = \pi \);

c) y = 9 – x², y = 2x², \(x = - \sqrt 3 ,x = \sqrt 3 \);

d) \(y = \sqrt x ,\)y = x², x = 0, x = 1.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x² – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).