Câu hỏi:
22/06/2024 41a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r, quanh trục Ox (H.4.28).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
a) Chọn hệ trục như hình vẽ.
Khi đó ta có C(0; r), B(h; R). Suy ra \(\overrightarrow {BC} = \left( {h;R - r} \right)\).
Phương trình đường thẳng BC qua C và nhận \(\overrightarrow n = \left( {r - R;h} \right)\) có dạng:
(r – R)x + h(y − r) = 0 hay \[y = \frac{{hr + \left( {R - r} \right)x}}{h}\].
Thể tích cần tính là:
\(V = \pi {\int\limits_0^h {\left[ {\frac{{hr + \left( {R - r} \right)x}}{h}} \right]} ^2}dx\)\( = \pi \int\limits_0^h {\left[ {{r^2} + 2r.\frac{{R - r}}{h}x + {{\left( {\frac{{R - r}}{h}x} \right)}^2}} \right]} dx\)
\( = \pi \left. {\left( {{r^2}x + r.\frac{{R - r}}{h}.{x^2} + {{\left( {\frac{{R - r}}{h}} \right)}^2}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h\)\( = \pi \left[ {{r^2}h + \left( {Rr - {r^2}} \right).h + \frac{{{{\left( {R - r} \right)}^2}.h}}{3}} \right]\)
\( = \pi \left( {{r^2}h + Rrh - {r^2}h + \frac{1}{3}{R^2}h - \frac{2}{3}Rrh + \frac{1}{3}{r^2}h} \right)\)\( = \pi \left( {\frac{1}{3}{R^2}h + \frac{1}{3}Rrh + \frac{1}{3}{r^2}h} \right)\)
\[ = \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + Rr + {r^2}} \right)\].
b) Khi r = 0 thì khối nón cụt trở thành khối nón có chiều cao h, bán kính đáy là R.
Do đó \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x2 + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).
a) Giả sử S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = −x2 + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính S1, S2 và từ đó suy ra S.
b) Tính và so sánh với S.
Câu 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số , y = x – 2 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Câu 3:
Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S0, S1 và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.
Câu 4:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).
Câu 5:
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h ≤ R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình , trục hoành và hai đường thẳng x = R – h, x = R xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Câu 6:
Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = f(x) = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = −2; x = 1 (H.4.12).
a) Tính diện tích S của hình phẳng này.
b) Tính và so sánh với S.
về câu hỏi!