Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng tọa độ của điểm G được cho bởi công thức:

x_G = \(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\);

y_G = \(\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\);

z_G= \(\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Tập 1 KNTT Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} - 4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \)

\(\frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow {OG} \)

Do đó, \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\).

Vậy từ đây, với biểu thức tọa độ của phép cộng vectơ và phép nhân một số với một vectơ ta được:

x_G = \(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\);

y_G = \(\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\);

z_G= \(\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Xét hệ tọa độ Oxyz gắn với hình lập phương như hình vẽ bên.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình lập phương.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác B'CD'.

c) Chứng minh rằng ba điểm O, G, A thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: C'(0; 0; 0), D'(0; 1; 0), B'(1; 0; 0); C(0; 0; 1); D(0; 1; 1).

Ta có: \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} \) = (0; 0; −1).

Gọi B(x; y; z), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x = 0\\0 - y = 0\\0 - z = - 1\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1\end{array} \right.\).

Vậy B(1; 0; 1).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) ⇒ A(1; 1; 1).

\(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AA'} \)⇒ A' (1; 1; 0).

b) Gọi G(x_G; y_G; z_G), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 0 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\\{y_G} = \frac{{0 + 1 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\\{z_G} = \frac{{0 + 0 + 1}}{3} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

Vậy G\(\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\).

c) Ta có: \(\overrightarrow {OG} = \left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {OA} = (1;1;1).\)

Có \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} \) nên ba điểm O, G, A thẳng hàng.

Câu 2

Hình bên mô tả hai bức tường gạch được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt đất. Một người thợ xây căng dây giữa hai bức tường. Đầu A của sợi dây nằm trên bức tường thứ nhất, cách bức tường thứ hai là 3 m và cách mặt đất là 1,2 m. Đầu B của sợi dây nằm trên bức tường thứ hai, cách bức tường thứ nhất là 1 m và cách mặt đất là 2 m.

a) Hãy lập một hệ trục tọa độ phù hợp và tìm tọa độ của hai đầu A, B trong hệ tọa độ đó.

b) Tính độ dài của sợi dây được căng.

Xem đáp án

Lời giải

a) Chọn hệ trục Oxyz như hình bên.

Hình bên mô tả hai bức tường gạch được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt đất. Một người thợ xây căng dây giữa hai bức tường (ảnh 2)

Khi đó tọa độ của hai đầu dây A, B là A(3; 0; 1,2) và B(0; 1; 2).

b) Độ dài của sợi dây là:

AB = \(\sqrt {{{\left( {0 - 3} \right)}^2} + \left( {1 - 0} \right){}^2 + {{\left( {2 - 1,2} \right)}^2}} \) ≈ 3,26 (m).

Câu 3