Câu hỏi:
22/08/2024 1,387
Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại x = 0 nhưng có cực tiểu tại điểm x = 0.
Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại x = 0 nhưng có cực tiểu tại điểm x = 0.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = - \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = + \infty .\)
Như vậy, hàm số \(f(x) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại x = 0.
Với mọi x ≠ 0, f(x) > 0 = f(0) nên hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có: \(\overline P (x) = \frac{{R(x) - C(x)}}{x} = \frac{{75,5x - 25,5x - 1000}}{x} = 50 - \frac{{1000}}{x}\) (triệu đồng).
Tập xác định của hàm lợi nhuận trung bình là: (0; +∞).
b) Với x = 100 thì \(\overline P (100) = 50 - \frac{{1000}}{{100}} = 40\) (triệu đồng).
Với x = 500 thì \(\overline P (500) = 50 - \frac{{1000}}{{500}} = 48\) (triệu đồng).
Với x = 1 000 thì \(\overline P (1000) = 50 - \frac{{1000}}{{1000}} = 49\) (triệu đồng).
c) Ta có: \(\overline P (x) = 50 - \frac{{1000}}{x}\)
\(\overline {P'} \left( x \right) = \frac{{1000}}{{{x^2}}}\)> 0 với mọi x ∈ (0; +∞).
Vậy hàm lợi nhuận trung bình đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline P (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {50 - \frac{{1000}}{x}} \right) = 50.\)
Ta có bảng biến thiên như sau:
Như vậy, mặc dù lợi nhuận trung bình luôn tăng khi mức sản xuất tăng nhưng không vượt quá 50 triệu đồng.
Lời giải
a) Ta có: \(\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}.\)
Khi đó, vị trí của vật tại thời điểm t là x(t) = 0,24cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m).
Suy ra vị trí của vật tại thời điểm t = 0,5 giây là x(0,5) = 0,24cos\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = \(0,12\sqrt 2 \) (m).
b) Vận tốc của vật là v(t) = x'(t) = −0,12sin\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m/s).
Tại thời điểm t = 0,5 giây thì v(0,5) = −0,12sin\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = −0,06π\(\sqrt 2 \) (m/s).
Dấu âm của vận tốc chứng tỏ tại thời điểm này, vật đang chuyển động theo chiều ngược với chiều dương của trục đã chọn.
c) Gia tốc của vật là: a(t) = v'(t) = −0,06π2cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) (m/s2).
d) Tại thời điểm t = 0,5 giây, ta có lực tác động lên vật là:
F(0,5) = m.a(0,5) = −0,06π2cos\(\frac{{0,5\pi }}{2}\) = −0,03π\(\sqrt 2 \) (N).
Vậy độ lớn của lực tác dụng lên vật là 0,03π\(\sqrt 2 \) N và lực có hướng ngược với chiều dương của trục đã chọn.
e) Vị trí của vật tại thời điểm ban đầu t = 0 là x(0) = 0,24 (m).
Ta có: x(t) = 0,24cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) = −0,12 ⇔ cos\(\frac{{\pi t}}{2}\) = \( - \frac{1}{2}\)
Nghiệm t dương nhỏ nhất của phương trình trên là t = \(\frac{4}{3}\).
Vậy thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí x = −0,12 m là
t = \(\frac{4}{3}\) giây.
Khi đó, vận tốc của vật là \(v\left( {\frac{4}{3}} \right)\) = −0,12πsin\(\frac{{\pi \frac{4}{3}}}{2}\) = −0,06π\(\sqrt 3 \) (m/s).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo