Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 5 và xy + yz + xz = 8.

Chứng tỏ rằng: \(1 \le x \le \frac{7}{3};\,\,1 \le y \le \frac{7}{3};\,\,1 \le z \le \frac{7}{3}.\)

Một bác thợ cắt vừa đủ một cây sắt thành các đoạn để hàn lại thành khung của một hình lập phương có cạnh là x (m) và một hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng chiều cao là y (m), chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Tìm độ dài cây sắt, biết x < y, x + y = 0,5 và xy = 0,06.

Cho phương trình x² + 2(k + 1)x + k² + 2k = 0.

a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂ và |x₁|.|x₂| = 1.

b*) Tìm các giá trị k (k < 0) để phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng x (m), chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Người ta đã làm một vườn hoa ở trung tâm mảnh đất với diện tích bằng 640 m² và làm một con đường rộng 2 m xung quanh vườn hoa đó (Hình 10). Hỏi chu vi của mảnh đất đó bằng bao nhiêu mét?

Cho phương trình x² + 2(2m + 1)x – 4m² – 1 = 0.

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào giá trị của m.

a) Cho phương trình –x² + 5kx + 4 = 0. Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện

b) Cho phương trình kx² – 6(k – 1)x + 9(k – 3) = 0 (k  ≠ 0). Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ + x₂ – x₁x₂ = 0.

Cho phương trình \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0.\)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu.

b) Không giải phương trình, tính:

\[A = x_1^2 + x_2^2;\,\,B = x_1^3 + x_2^3;\] \(C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};\) D = |x₁ – x₂|.