Câu hỏi:
25/08/2024 1,265Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 5 và xy + yz + xz = 8.
Chứng tỏ rằng: \(1 \le x \le \frac{7}{3};\,\,1 \le y \le \frac{7}{3};\,\,1 \le z \le \frac{7}{3}.\)
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 3. Định lí Viète có đáp án !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Đặt S = y + z và P = yz.
Theo bài, x + y + z = 5 nên ta có x + S = 5, suy ra y + z = S = 5 – x.
Theo bài, xy + yz + xz = 8 nên xy + xz + P = 8
Suy ra yz = P = 8 – x(y + z) = 8 – x(5 – x).
Từ đó y, z là nghiệm của phương trình:
t2 – (5 – x)t + 8 – x(5 – x) = 0 với S2 – 4P ≥ 0. (*)
Xét điều kiện (*):
S2 – 4P ≥ 0
(5 – x)2 – 4[8 – x(5 – x)] ≥ 0
25 – 10x + x2 – 32 + 4x(5 – x) ≥ 0
25 – 10x + x2 – 32 + 20x – 4x2 ≥ 0
–3x2 + 10x – 7 ≥ 0
3x2 – 10x + 7 ≤ 0.
Ta có: 3x2 – 10x + 7 = (3x2 – 3x) – (7x – 7)
= 3x(x – 1) – 7(x – 1) = (x – 1)(3x – 7)
\( = 3\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{7}{3}} \right).\)
Với mọi x ta luôn có: \(x - 1 > \left( {x - 1} \right) - \frac{4}{3}\) hay \(x - 1 > x - \frac{7}{3}.\)
Do 3x2 – 10x + 7 ≤ 0 và \(x - 1 > x - \frac{7}{3}\) nên suy ra:
\(x - \frac{7}{3} \le 0\) và x – 1 ≥ 0 hay \(1 \le x \le \frac{7}{3}.\)
Tương tự ta chứng minh được: \(1 \le y \le \frac{7}{3};\,\,1 \le z \le \frac{7}{3}.\)
Vậy \(1 \le x \le \frac{7}{3};\,\,1 \le y \le \frac{7}{3};\,\,1 \le z \le \frac{7}{3}.\)
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho phương trình x2 + 2(2m + 1)x – 4m2 – 1 = 0.
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào giá trị của m.
Câu 2:
Cho phương trình \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0.\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 trái dấu.
b) Không giải phương trình, tính:
\[A = x_1^2 + x_2^2;\,\,B = x_1^3 + x_2^3;\] \(C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};\) D = |x1 – x2|.
Câu 3:
Cho phương trình x2 + 2(k + 1)x + k2 + 2k = 0.
a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 và |x1|.|x2| = 1.
b*) Tìm các giá trị k (k < 0) để phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
Câu 4:
Một bác thợ cắt vừa đủ một cây sắt thành các đoạn để hàn lại thành khung của một hình lập phương có cạnh là x (m) và một hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng chiều cao là y (m), chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Tìm độ dài cây sắt, biết x < y, x + y = 0,5 và xy = 0,06.
Câu 5:
a) Cho phương trình –x2 + 5kx + 4 = 0. Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện
b) Cho phương trình kx2 – 6(k – 1)x + 9(k – 3) = 0 (k ≠ 0). Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 – x1x2 = 0.
Câu 6:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng x (m), chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Người ta đã làm một vườn hoa ở trung tâm mảnh đất với diện tích bằng 640 m2 và làm một con đường rộng 2 m xung quanh vườn hoa đó (Hình 10). Hỏi chu vi của mảnh đất đó bằng bao nhiêu mét?
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận