Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 1 000 m². Nếu tăng chiều dài thêm 10 m, giảm chiều rộng đi 5 m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn.

Gọi x (m) là chiều dài của mảnh vườn (x > 0).

Do mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 1 000 m² nên chiều rộng của mảnh vườn là \(\frac{{1\,\,000}}{x}\,\,({\rm{m}}).\)

Nếu tăng chiều dài thêm 10 m thì chiều dài của mảnh vườn lúc sau là x + 10 (m).

Nếu giảm chiều rộng đi 5 m thì chiều rộng của mảnh vườn lúc sau là \(\frac{{1\,\,000}}{x} - 5\,\,({\rm{m}}).\)

Diện tích của mảnh vườn khi đó là:

\(\left( {x + 10} \right)\left( {\frac{{1\,\,000}}{x} - 5} \right){\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Theo bài, sau khi thay đổi kích thước thì diện tích mảnh vườn không thay đổi, nên ta có phương trình: \(\left( {x + 10} \right)\left( {\frac{{1\,\,000}}{x} - 5} \right) = 1\,\,000.\)

Giải phương trình:

\(\left( {x + 10} \right)\left( {\frac{{1\,\,000}}{x} - 5} \right) = 1\,\,000\)

\(1\,\,000 - 5x + \frac{{10\,\,000}}{x} - 50 = 1\,\,000\)

\( - 5x + \frac{{10\,\,000}}{x} - 50 = 0\)

\( - x + \frac{{2\,\,000}}{x} - 10 = 0\)

\(\frac{{ - {x^2}}}{x} + \frac{{2\,\,000}}{x} - \frac{{10x}}{x} = 0\)

‒x² + 2 000 ‒ 10x = 0

x² + 10x ‒ 2 000 = 0

Phương trình trên có a = 1, b’ = 5, c = ‒2 000, ∆’ = 5² – 1.(‒2 000) = 2 025 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {2\,\,025} }}{1} = \frac{{ - 5 + 45}}{1} = 40;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {2\,\,025} }}{1} = \frac{{ - 5 - 45}}{1} = - 50.\]

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 40 thoả mãn điều kiện.

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 40 m, chiều rộng của mảnh vườn \(\frac{{1\,\,000}}{{40}} = 25\) m.