Cho phương trình 5x² – 7x + 1 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

\(A = \left( {{x_1} - \frac{7}{5}} \right){x_1} + \frac{1}{{25x_2^2}} + x_2^2.\)

Gọi x là số sản phẩm mà người công nhân phải làm theo kế hoạch mỗi ngày (x ∈ ℕ^*, x < 120).

Số sản phẩm mỗi ngày mà người đó đã làm theo thực tế là x + 3 (sản phẩm).

Thời gian mà người đó phải hoàn thành theo kế hoạch là \(\frac{{120}}{x}\) (ngày).

Thời gian mà người đó đã hoàn thành theo thực tế là \(\frac{{120}}{{x + 3}}\) (ngày).

Theo bài, người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày nên ta có phương trình: \(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 3}} = 2.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 3}} = 2\)

\(\frac{{60}}{x} - \frac{{60}}{{x + 3}} = 1\)

\(\frac{{60\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{60x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\)

60(x + 3) – 60x = x(x + 3)

60x + 180 – 60x = x² + 3x

x² + 3x ‒180 = 0

Phương trình trên có a = 1, b = 3, c = ‒180, ∆ = 3² ‒ 4.1.(‒180) = 9 + 720 = 729 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt {729} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 3 + 27}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 3 - \sqrt {729} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 3 - 27}}{2} = \frac{{ - 30}}{2} = - 15.\]

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 12 thoả mãn điều kiện.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày công nhân đó phải làm 12 sản phẩm.

Gọi số dãy ghế của phòng họp lúc đầu là x (dãy) (x ∈ ℕ*).

Số ghế ở mỗi dãy lúc đầu là \(\frac{{420}}{x}\) (cái).

Nếu bớt đi 5 dãy thì số dãy ghế lúc sau là: x – 5 (dãy).

Do số ghế trong phòng họp không thay đổi nên số ghế ở mỗi dãy lúc sau là \(\frac{{420}}{{x - 5}}\) (cái).

Do lúc sau đã thêm cho mỗi dãy 7 cái ghế so với ban đầu nên ta có phương trình:

\(\frac{{420}}{{x - 5}} = \frac{{420}}{x} + 7.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{420}}{{x - 5}} = \frac{{420}}{x} + 7\)

\(\frac{{420}}{{x - 5}} - \frac{{420}}{x} = 7\)

\(\frac{{60}}{{x - 5}} - \frac{{60}}{x} = 1\)

\[\frac{{60x}}{{x\left( {x - 5} \right)}} - \frac{{60\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {x - 5} \right)}}\]

60x – 60(x – 5) = x(x – 5)

60x ‒ 60x + 300 = x² ‒ 5x

x² ‒ 5x ‒ 300 = 0

Phương trình trên có a = 1, b = ‒5, c = ‒300, ∆ = (‒5)² – 4.1.(‒300) = 1 225 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt {1\,\,225} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{5 + 35}}{2} = \frac{{40}}{2} = 20;\)

\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt {1\,\,225} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{5 - 35}}{2} = \frac{{ - 30}}{2} = - 15.\)

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 20 thỏa mãn điều kiện.

Vậy lúc đầu trong phòng họp có 20 dãy ghế.