Câu hỏi:

29/08/2024 3,005

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi \[200{\rm{ m}}.\] Do mở rộng đường giao thông nông thôn nên chiều dài khu vườn giảm \[8{\rm{ m}}.\] Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu, biết diện tích đất còn lại để trồng cây là \(2\,080\;\,{{\rm{m}}^2}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực Bình Dương 2024 - 2025 (Đề 15) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi \[x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] là chiều dài ban đầu của khu vườn hình chữ nhật \[\left( {0 < x < 100} \right)\].

Khi đó nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là: \(200:2 = 100\,\,\left( m \right).\)

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là \(100 - x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Chiều dài khu vườn sau khi giảm \(8\,\,{\rm{m}}\) là \(x - 8\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích của khu vườn sau khi giảm là: \[\left( {x - 8} \right)\left( {100 - x} \right) = 2\,\,080\]

\[ - {x^2} + 108x - 800 = 2\,\,080\]

\[{x^2} - 108x + 2\,\,880 = 0\]

\(x = 60\) hoặc \(x = 48\).

• Với \(x = 60\) hay chiều dài ban đầu của khu vườn là \(60\,\,{\rm{m}}\) thì

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là \(100 - 60 = 40\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) (thỏa mãn).

• Với \(x = 48\) hay chiều dài ban đầu của khu vườn là \(60\,\,{\rm{m}}\) thì

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là \(100 - 48 = 52\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) (loại vì chiều dài phải lớn hơn chiều rộng).

Vậy chiều dài ban đầu của khu vườn là \(60\,\,{\rm{m}}\) và chiều rộng ban đầu của khu vườn là \(40\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \[AB\] và \(M\) là điểm chính giữa của cung \[AB\]. Lấy điểm \(D\) thuộc dây \(MB\,\,\left( D \right.\) khác \(M\) và \(\left. B \right).\) Tia \[AD\] cắt cung nhỏ \[BM\] tại \(N,\) tia \[AM\] cắt tia \[BN\] tại \(C.\)

1) Chứng minh: tứ giác \(CMDN\) nội tiếp được đường tròn.

2) Chứng minh: \(AM \cdot AC = AD \cdot AN.\)

3) Chứng minh: \(\widehat {MCD} = \widehat {OMB}.\)

4) Gọi \[E\] là giao điểm của tia \[AB\] và tia \[MN.\] Chứng minh: \(\widehat {DBN} = \widehat {NEB}.\)

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm D thuộc dây MB, D khác M và B Tia AD cắt cung nhỏ (ảnh 1)

1) Do \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ \) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\widehat {CMB} = \widehat {CND} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \[CMDN\] có

\[\widehat {CMD} + \widehat {CND} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ .\]

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \[CMDN\] nội tiếp được trong đường tròn.

2) Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta ANC\) có \(\widehat {NAC}\) chung; \(\widehat {AMD} = \widehat {ANC} = 90^\circ .\)

Do đó , suy ra \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) hay \(AM \cdot AC = AN \cdot AD\).

3) Do \[ABNM\] nội tiếp \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {BAM} + \widehat {BNM} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {BNM} + \widehat {CNM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {CNM} = \widehat {BAM}\).

Mà \[\widehat {CNM} = \widehat {MCD}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung

Suy ra \(\widehat {MCD} = \widehat {OMB}\,\,\left( { = \widehat {CNM}} \right)\) hay \(\widehat {MCD} = \widehat {OMB}.\)

4) Do \[M\] là điểm chính giữa cung \[AB\] nên \(MA = MB\).

Suy ra \(\widehat {MNA} = \widehat {MAB}\) (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Xét \(\Delta MAN\) và \(\Delta MAE\) có \(\widehat {AME}\) chung; \(\widehat {MNA} = \widehat {MAE}\,\,({\rm{cmt}})\).

Do đó .

Suy ra \(\widehat {MAN} = \widehat {MEA}\) (hai góc tương ứng).

Mà \[\widehat {MAN} = \widehat {MBN}\] (góc nội tiếp cùng chắn nên \(\widehat {MBN} = \widehat {MEB}\).

Do đó \(\widehat {DBN} = \widehat {NEB}\) (đpcm).

Câu 2

Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 8 = 0\). (\(m\) là tham số).

1) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm bằng 2.

2) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(4{x_1} - 3{x_2} = 25\).

Xem đáp án

Lời giải

1) Để phương trình có nghiệm bằng 2, thay \(x = 2\) vào phương trình, ta được:

\({2^2} - 2\left( {m - 2} \right) \cdot 2 + {m^2} - 8 = 0\) hay \(4 - 4m + 8 + {m^2} - 8 = 0\).

Khi đó \({m^2} - 4m + 4 = 0\) hay \({\left( {m - 2} \right)^2} = 0\) nên \(m = 2\).

Vậy \(m = 2\) thì phương trình có nghiệm \(x = 2\)

2) \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 8 = 0 & \left( 1 \right)\)

Ta có \[\Delta = 4{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 8} \right) = 4{m^2} - 16m + 16 - 4{m^2} + 32 = - 32m + 48\].

Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta > 0\] hay \[ - 32m + 48 > 0\] nên \[m < 3.\]

Khi đó \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}.\]

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 8}\end{array}} \right.\).

Để \(4{x_1} - 3{x_2} = 25\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x_1} - 3{x_2} = 25}\\{{x_1} + {x_2} = 2m - 4\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình \[\left( 2 \right)\] với 4, ta được hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x_1} - 3{x_2} = 25 & & \left( 3 \right)}\\{4{x_1} + 4{x_2} = 8m - 16 & \left( 4 \right)}\end{array}} \right..\)

Trừ từng vế phương trình \(\left( 4 \right)\) cho \(\left( 3 \right)\) ta được: \(7{x_2} = 8m - 41\), tức là \({x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}.\)

Thế \({x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}\) vào phương trình \[\left( 2 \right)\] ta có: \({x_1} + \frac{{8m - 41}}{7} = 2m - 4\) hay \({x_1} = \frac{{6m + 13}}{7}.\)

Thay \({x_1} = \frac{{6m + 13}}{7}\,;\,\,{x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}\) vào \({x_1}{x_2} = {m^2} - 8\) ta được

\(\frac{{6m + 13}}{7} \cdot \frac{{8m - 41}}{7} = {m^2} - 8\)

\(\frac{{\left( {6m + 13} \right)\left( {8m - 41} \right)}}{{49}} = {m^2} - 8\)

\[\left( {6m + 13} \right)\left( {8m - 41} \right) = 49\left( {{m^2} - 8} \right)\]

\(48{m^2} - 142m - 533 = 49{m^2} - 392\)

\({m^2} + 142m + 141 = 0\).

Ta thấy \(1 - 142 + 141 = 0\) nên phương trình có nghiệm \(m = - 1\) hoặc \(m = - 141\) (thỏa mãn \(m < 3).\)

Vậy \[m \in \left\{ { - 1\,;\,\, - 141} \right\}\] thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(4{x_1} - 3{x_2} = 25.\)

Câu 3