Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực Bình Dương 2024 - 2025 (Đề 15)

1) a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\). Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\). Phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 8t - 9 = 0.\)

Ta thấy \(1 - \left( { - 8} \right) + \left( { - 9} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm \(t =  - 1\) (loại) hoặc \(t = 9\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right).\)

Với \(t = 9\) thì \({x^2} = 9\). Do đó \(x = 3\) hoặc \(x =  - 3.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x =  - 3\,;\,\,x = 3.\]  

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 9}\\{3x - 2y =  - 3}\end{array}} \right.\). Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 2y = 18}\\{3x - 2y =  - 3}\end{array}} \right..\)

Cộng từng vế của phương trình mới, ta được: \[5x = 15\], tức là \[x = 3.\]

Thế \[x = 3\] vào phương trình \[x + y = 9\] ta có: \[3 + y = 9\] hay \[y = 6\].

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x\,;\,\,y} \right) = \left( {3\,;\,\,6} \right)\).

2) \(M = 2\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  - \sqrt {20}  = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  - \sqrt {4 \cdot 5} \)\( = 2\left| {\sqrt 5  - 2} \right| - 2\sqrt 5  = 2\sqrt 5  - 4 - 2\sqrt 5  =  - 4\).

Vậy \(M = 2\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  =  - 4\).

1) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Bảng giá trị:

\(x\)	\( - 2\)	\( - 1\)	0	1	2
\(y = \frac{3}{4}{x^2}\)	3	\(\frac{3}{4}\)	0	\(\frac{3}{4}\)	3

Đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2}\) là Parabol nhận \[Oy\] làm trục đối xứng, có đỉnh \(O\left( {0\,;\,\,0} \right)\), bề lõm hướng lên và đi qua các điểm \(\left( { - 1\,;\,\,\frac{3}{4}} \right),\,\,\left( {1\,;\,\,\frac{3}{4}} \right),\,\)\(\,\left( { - 2\,;\,\,3} \right),\,\,\left( {2\,;\,\,3} \right).\)

Ta có đồ thị hàm số

2) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình:

\(\frac{3}{4}{x^2} = x + m\) hay \(\frac{3}{4}{x^2} - x - m = 0\).

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt

Hay \(\Delta  = {( - 1)^2} - 4 \cdot \frac{3}{4}( - m) = 1 + 3m > 0\) hay \(m > \frac{{ - 1}}{3}\).

Vậy với \(m > \frac{{ - 1}}{3}\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

1) Để phương trình có nghiệm bằng 2, thay \(x = 2\) vào phương trình, ta được:

\({2^2} - 2\left( {m - 2} \right) \cdot 2 + {m^2} - 8 = 0\) hay \(4 - 4m + 8 + {m^2} - 8 = 0\).

Khi đó \({m^2} - 4m + 4 = 0\) hay \({\left( {m - 2} \right)^2} = 0\) nên \(m = 2\).

Vậy \(m = 2\) thì phương trình có nghiệm \(x = 2\)

2) \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 8 = 0 & \left( 1 \right)\)

Ta có \[\Delta  = 4{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 8} \right) = 4{m^2} - 16m + 16 - 4{m^2} + 32 =  - 32m + 48\].

Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta  > 0\] hay \[ - 32m + 48 > 0\] nên \[m < 3.\]

Khi đó \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}.\]

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 8}\end{array}} \right.\).

Để \(4{x_1} - 3{x_2} = 25\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x_1} - 3{x_2} = 25}\\{{x_1} + {x_2} = 2m - 4\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình \[\left( 2 \right)\] với 4, ta được hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x_1} - 3{x_2} = 25 &  & \left( 3 \right)}\\{4{x_1} + 4{x_2} = 8m - 16 & \left( 4 \right)}\end{array}} \right..\)

Trừ từng vế phương trình \(\left( 4 \right)\) cho \(\left( 3 \right)\) ta được: \(7{x_2} = 8m - 41\), tức là \({x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}.\)

Thế \({x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}\) vào phương trình \[\left( 2 \right)\] ta có: \({x_1} + \frac{{8m - 41}}{7} = 2m - 4\) hay \({x_1} = \frac{{6m + 13}}{7}.\)

Thay \({x_1} = \frac{{6m + 13}}{7}\,;\,\,{x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}\) vào \({x_1}{x_2} = {m^2} - 8\) ta được

\(\frac{{6m + 13}}{7} \cdot \frac{{8m - 41}}{7} = {m^2} - 8\)

\(\frac{{\left( {6m + 13} \right)\left( {8m - 41} \right)}}{{49}} = {m^2} - 8\)

\[\left( {6m + 13} \right)\left( {8m - 41} \right) = 49\left( {{m^2} - 8} \right)\]

\(48{m^2} - 142m - 533 = 49{m^2} - 392\)

\({m^2} + 142m + 141 = 0\).

Ta thấy \(1 - 142 + 141 = 0\) nên phương trình có nghiệm \(m =  - 1\) hoặc \(m =  - 141\) (thỏa mãn \(m < 3).\)

Vậy \[m \in \left\{ { - 1\,;\,\, - 141} \right\}\] thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(4{x_1} - 3{x_2} = 25.\)

Gọi \[x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] là chiều dài ban đầu của khu vườn hình chữ nhật \[\left( {0 < x < 100} \right)\].

Khi đó nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là: \(200:2 = 100\,\,\left( m \right).\)

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là \(100 - x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Chiều dài khu vườn sau khi giảm \(8\,\,{\rm{m}}\) là \(x - 8\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích của khu vườn sau khi giảm là: \[\left( {x - 8} \right)\left( {100 - x} \right) = 2\,\,080\]

\[ - {x^2} + 108x - 800 = 2\,\,080\]

\[{x^2} - 108x + 2\,\,880 = 0\]

\(x = 60\) hoặc \(x = 48\).

• Với \(x = 60\) hay chiều dài ban đầu của khu vườn là \(60\,\,{\rm{m}}\) thì

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là \(100 - 60 = 40\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) (thỏa mãn).

• Với \(x = 48\) hay chiều dài ban đầu của khu vườn là \(60\,\,{\rm{m}}\) thì

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là \(100 - 48 = 52\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) (loại vì chiều dài phải lớn hơn chiều rộng).

Vậy chiều dài ban đầu của khu vườn là \(60\,\,{\rm{m}}\) và chiều rộng ban đầu của khu vườn là \(40\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)