Rút gọn biểu thức:

a) \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right);\)

b) \(\frac{{28}}{3}.\sqrt {\frac{{27}}{{16}}} - 3.\sqrt {\frac{{49}}{3}} - \frac{9}{4}.\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} .\)

a) Ta có \(7 - \sqrt 7 = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} - \sqrt 7 = - \sqrt 7 \left( {1 - \sqrt 7 } \right)\) nên \(\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} = - \sqrt 7 .\)

Tương tự, \(\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} = \sqrt 7 .\)

Do đó \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\)

\( = \left( {\sqrt 3 - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\)

\( = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = 3 - 7 = - 4.\)

b) Áp dụng quy tắc khai căn một thương và đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta có

\(\sqrt {\frac{{27}}{{16}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4};\) \(\sqrt {\frac{{49}}{3}} = \frac{7}{{\sqrt 3 }};\) \(\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{9\sqrt 3 }} = \frac{4}{9}.\)

Do đó

\(\frac{{28}}{3} \cdot \sqrt {\frac{{27}}{{16}}} - 3 \cdot \sqrt {\frac{{49}}{3}} - \frac{9}{4} \cdot \sqrt {\frac{{48}}{{243}}} \)

\( = \frac{{28}}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{4} - 3 \cdot \frac{7}{{\sqrt 3 }} - \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9}\)

\( = 7\sqrt 3 - 7\sqrt 3 - 1 = - 1.\)