Không dùng MTCT, tính \({\left( {\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{7}} \right)^3}.\) Sử dụng kết quả nhận được, hãy giải thích vì sao \(\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{{5.7}}.\)

a) Bấm máy tính để tính \(\sqrt[3]{{2,1}},\) màn hình hiện kết quả 1,280 579 165.

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ta được \(\sqrt[3]{{2,1}} = 1,28.\)

b) Bấm máy tính để tính \(\sqrt[3]{{ - 18}},\) màn hình hiện kết quả −2,620 741 394.

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ta được \(\sqrt[3]{{ - 18}} = - 2,62.\)

c) Bấm máy tính để tính \(\sqrt[3]{{ - 28}},\) màn hình hiện kết quả −3,036 588 972.

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ta được \(\sqrt[3]{{ - 28}} = - 3,03.\)

d) Bấm máy tính để tính \(\sqrt[3]{{0,35}},\) màn hình hiện kết quả 0,7047 298 732.

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ta được \(\sqrt[3]{{0,35}} = 0,7.\)

Theo định nghĩa, \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}\) là số thực x thỏa mãn định nghĩa căn bậc ba.

Vì vậy, để chứng minh \[\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2 + 1\] chỉ cần chứng tỏ \({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^3} = 7 + 5\sqrt 2 .\)

Thật vậy, áp dụng hằng đẳng thức (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, ta có:

\({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^3} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 3{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 3\sqrt 2 + 1\)

\( = 2\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt 2 + 1 = 7 + 5\sqrt 2 .\)

Vậy \[\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2 + 1.\]