Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O') tại F (E và F khác A). Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.49).

a) Chứng minh rằng tứ giác OO'KI là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng \(IK = \frac{1}{2}EF.\)

C) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO'KI là một hình chữ nhật?

(H.5.51)

a) Gọi R, r lần lượt là bán kính của hai đường tròn (O) và (O').

Ta có OO' = R – r nên hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong với nhau.

b) Tam giác ODE cân tại O (OD = OE = R) có OH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến của ∆ODE, hay DH = HE.

Tứ giác ADCE có hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại H là trung điểm mỗi đường nên ADCE là hình bình hành. Lại có AC ⊥ DE tại H, suy ra ADCE là hình thoi.

c) Tam giác KCB có đường trung tuyến KO' và KO' = CO' = BO' nên tam giác KCB là tam giác vuông tại K, suy ra \(\widehat {CKB} = 90^\circ \) hay KC ⊥ KB. (1)

Tương tự, ta có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) hay DA ⊥ DB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra KC // AD.

Lại có EC // AD (vì ADCE là hình thoi), do đó ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d) Xét tam giác DEK vuông tại K có KH là đường trung tuyến nên KH = DH = EH.

Do đó tam giác KHE cân tại H, suy ra \(\widehat {HKE} = \widehat {HEK}.\)

Lại có, ∆O'CK cân tại O' nên \(\widehat {O'CK} = \widehat {O'KC}.\)

\(\widehat {HKE} + \widehat {O'CK} = \widehat {HKE} + \widehat {O'KC}\)

\(\widehat {O'KH} = \widehat {HKE} + \widehat {O'CK}.\)

Mặt khác \(\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\) (hai góc đối đỉnh).

Tam giác HEC vuông tại H nên \(\widehat {KEH} + \widehat {HCE} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {HKE} + \widehat {O'CK} = \widehat {HKE} + \widehat {HCE}\)  \( = \widehat {KEH} + \widehat {HCE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {O'KH} = 90^\circ .\)

Do đó HK ⊥ O'K.

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O').

(H.5.48)

a) Tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC, mà A ∈ (C; CA) do đó BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Hai tam giác ABC và A'BC có:

BC là cạnh chung;

AB = A'B (cùng bằng bán kính đường tròn (B; BA));

AC = A'C (cùng bằng bán kính đường tròn (C; CA)).

Do đó ∆ABC = ∆A'BC (c.c.c), suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BA'C} = 90^\circ ,\) hay BA' ⊥ A'C.

Mặt khác, A' ∈ (C; CA) nên BA' là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Vậy BA và BA' là hai tiếp tuyến của đường tròn (C; CA) cắt nhau tại C.

b) Ta có CA ⊥ AB và A ∈ (B; BA) nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Tương tự, CA' là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Vậy CA và CA' là hai tiếp tuyến của đường tròn (B; BA) cắt nhau tại B.