Cho AB là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn (O; 4 cm). Gọi C và D lần lượt là các điểm đối xứng với A và B qua tâm O.

a) Hai điểm C và D có nằm trên đường tròn (O) không? Vì sao?

b) Biết rằng ABCD là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn AB và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB.

(H.5.51)

a) Gọi R, r lần lượt là bán kính của hai đường tròn (O) và (O').

Ta có OO' = R – r nên hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong với nhau.

b) Tam giác ODE cân tại O (OD = OE = R) có OH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến của ∆ODE, hay DH = HE.

Tứ giác ADCE có hai đường chéo AC và DE cắt nhau tại H là trung điểm mỗi đường nên ADCE là hình bình hành. Lại có AC ⊥ DE tại H, suy ra ADCE là hình thoi.

c) Tam giác KCB có đường trung tuyến KO' và KO' = CO' = BO' nên tam giác KCB là tam giác vuông tại K, suy ra \(\widehat {CKB} = 90^\circ \) hay KC ⊥ KB. (1)

Tương tự, ta có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) hay DA ⊥ DB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra KC // AD.

Lại có EC // AD (vì ADCE là hình thoi), do đó ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d) Xét tam giác DEK vuông tại K có KH là đường trung tuyến nên KH = DH = EH.

Do đó tam giác KHE cân tại H, suy ra \(\widehat {HKE} = \widehat {HEK}.\)

Lại có, ∆O'CK cân tại O' nên \(\widehat {O'CK} = \widehat {O'KC}.\)

\(\widehat {HKE} + \widehat {O'CK} = \widehat {HKE} + \widehat {O'KC}\)

\(\widehat {O'KH} = \widehat {HKE} + \widehat {O'CK}.\)

Mặt khác \(\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\) (hai góc đối đỉnh).

Tam giác HEC vuông tại H nên \(\widehat {KEH} + \widehat {HCE} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {HKE} + \widehat {O'CK} = \widehat {HKE} + \widehat {HCE}\)  \( = \widehat {KEH} + \widehat {HCE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {O'KH} = 90^\circ .\)

Do đó HK ⊥ O'K.

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O').

(H.5.50)

a) ∆AOE là tam giác cân tại O (OA = OE) có OI là đường trung tuyến (vì I là trung điểm của AE) nên OI cũng là đường cao, tức là \(\widehat {AIO} = 90^\circ \) hay OI ⊥ AI.

Tương tự, đối với tam giác AO'F, ta có \(\widehat {AKO'} = 90^\circ \) hay O'K ⊥ KF.

Do đó OI // O'K (cùng vuông góc với d).

Tứ giác OO'KI có OI // O'K và \(\widehat {OIK} = \widehat {O'KI} = 90^\circ \) nên OO'KI là hình thang vuông.

b) Theo đề bài, EI = IA và AK = KF nên ta có EA = 2IA và AF = 2AK.

Ta có: EF = EA + AF = 2IA + 2AK = 2(IA + AK) = 2IK. Do đó \(IK = \frac{1}{2}EF.\)

c) Khi d đi qua A thì tứ giác OO'KI luôn là hình thang vuông.

Nếu hình thang vuông đó là hình chữ nhật thì IK // OO', hay d // OO'.

Ngược lại, nếu d // OO' thì IK // OO' nên OO'KI là hình chữ nhật.

Vậy để tứ giác OO'KI là hình chữ nhật thì d // OO'.