Câu hỏi:
18/09/2024 800
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\);
b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\);
c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\);
d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}.\)
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\);
b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\);
c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\);
d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}.\)
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\)
Tập xác định: D = ℝ\{−1}.
Ta có: y' = \(\frac{{2x\left( {x + 1} \right) - {x^2} - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ x2 + 2x – 8 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −4.
Ta có bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −4) và (2; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−4; −1) và (−1; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = −4, yCĐ = −8.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = 4.
b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\)
Tập xác định: D = ℝ\{2}.
Ta có: y' = \(\frac{{\left( {2x - 8} \right)\left( {x - 2} \right) - {x^2} + 8x - 10}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) .
Nhận thấy y' > 0, với mọi x ∈ D.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).
Hàm số không có cực trị.
c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\)
Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Ta có: y' = \(\frac{{\left( { - 4x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - 2\left( { - 2{x^2} + x + 2} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{ - 4{x^2} + 4x - 5}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)= \(\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2} - 6}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)
Nhận thấy y' < 0, với mọi x ∈ D.
Ta có bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}.\)
Tập xác định: D = ℝ\{−3}.
Ta có: y' =\(\frac{{\left( { - 2x - 6} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} + 6x + 25}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{ - {x^2} - 6x + 7}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac{{ - {x^2} - 6x + 7}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −7.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−7; −3) và (−3; 1).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −7) và (1; +∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = −8.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = −7, yCT = 8.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích là 10 l. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp là bao nhiêu?
Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và thể tích là 10 l. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp là bao nhiêu?
Xem đáp án »
19/09/2024
6,019
Câu 2:
Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng x (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm x để thể tích của hình hộp là lớn nhất.
Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng x (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm x để thể tích của hình hộp là lớn nhất.
Xem đáp án »
18/09/2024
5,562
Câu 3:
Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất x (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số C(x) = 2x3 – 30x2 + 177x + 2 592 (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?
Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất x (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số C(x) = 2x3 – 30x2 + 177x + 2 592 (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?
Xem đáp án »
18/09/2024
5,357
Câu 4:
Người ta thấy rằng trong vòng 3 năm tính từ đầu năm 2020, giá thành P của một loại sản phẩm vào tháng thứ t thay đổi theo công thức
P(t) = 80t3 – 3 600t2 + 48 000t + 100 000 (đồng) với 0 ≤ t ≤ 36.
Hãy cho biết trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm tăng, trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm giảm. Giá thành đạt cực đại và cực tiểu vào thời điểm nào?
Người ta thấy rằng trong vòng 3 năm tính từ đầu năm 2020, giá thành P của một loại sản phẩm vào tháng thứ t thay đổi theo công thức
P(t) = 80t3 – 3 600t2 + 48 000t + 100 000 (đồng) với 0 ≤ t ≤ 36.
Hãy cho biết trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm tăng, trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm giảm. Giá thành đạt cực đại và cực tiểu vào thời điểm nào?
Xem đáp án »
18/09/2024
4,035
Câu 5:
Cho hình thang có đáy nhỏ và cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.
Cho hình thang có đáy nhỏ và cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.
Xem đáp án »
18/09/2024
3,718
Câu 6:
Một cửa hàng ước tính số lượng sản phẩm q (0 ≤ q ≤ 100) bán được phụ thuộc vào giá bán p (tính bằng nghìn đồng) theo công thức p + 2q = 300. Chi phi cửa hàng cần chi để nhập về q sản phẩm là C(p) = 0,05p3 – 5,7q2 + 295q + 300 (nghìn đồng).
a) Viết công thức tính lợi nhuận l của cửa hàng khi nhập về và bán được q sản phẩm.
b) Trong khoảng nào của q thì lợi nhuận sẽ tăng khi q tăng, trong khoảng nào thì lợi nhuận giảm khi q tăng?
Một cửa hàng ước tính số lượng sản phẩm q (0 ≤ q ≤ 100) bán được phụ thuộc vào giá bán p (tính bằng nghìn đồng) theo công thức p + 2q = 300. Chi phi cửa hàng cần chi để nhập về q sản phẩm là C(p) = 0,05p3 – 5,7q2 + 295q + 300 (nghìn đồng).
a) Viết công thức tính lợi nhuận l của cửa hàng khi nhập về và bán được q sản phẩm.
b) Trong khoảng nào của q thì lợi nhuận sẽ tăng khi q tăng, trong khoảng nào thì lợi nhuận giảm khi q tăng?
Xem đáp án »
18/09/2024
3,078
Câu 7:
Cho điểm A di động trên nửa đường tròn tâm O đường kính MN = 20 cm, \(\widehat {MOA}\) = α với 0 ≤ α ≤ π. Lấy điểm B thuộc nửa đường tròn và C, D thuộc đường kính MN được xác định sao cho ABCD là hình chữ nhật. Khi A di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của α thì diện tích của hình chữ nhật ABCD tăng, trong khoảng nào của α thì diện tích hình chữ nhật ABCD giảm?
Cho điểm A di động trên nửa đường tròn tâm O đường kính MN = 20 cm, \(\widehat {MOA}\) = α với 0 ≤ α ≤ π. Lấy điểm B thuộc nửa đường tròn và C, D thuộc đường kính MN được xác định sao cho ABCD là hình chữ nhật. Khi A di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của α thì diện tích của hình chữ nhật ABCD tăng, trong khoảng nào của α thì diện tích hình chữ nhật ABCD giảm?
Xem đáp án »
18/09/2024
3,035
về câu hỏi!