Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) trên nửa khoảng (3; 4];

b) \(y = \frac{{3x + 7}}{{2x - 5}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\);

c) \(y = \frac{{3x + 2}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0; 4].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) trên nửa khoảng (3; 4]

Tập xác định: D = ℝ\{3}.

Ta có: y' = \(\frac{{ - 7}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\) < 0, với mọi x ∈ (3; 4].

Hàm số nghịch biến trên (3; 4].

Có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y\) = +∞, y(4) = 9.

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {3;4} \right]} y\) = y(4) = 9, hàm số không có giá trị lớn nhất trên (3; 4].

b) \(y = \frac{{3x + 7}}{{2x - 5}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\)

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{5}{2}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{ - 29}}{{{{\left( {2x - 5} \right)}^2}}}\) < 0, với mọi x ∈ \(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\).

Hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)} y = y\left( { - 5} \right)\) = \(\frac{8}{{15}}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left[ { - 5;\frac{5}{2}} \right)\).

c) \(y = \frac{{3x + 2}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0; 4]

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Ta có: y' = \(\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) > 0 với mọi x ∈ [0; 4].

Hàm số đồng biến trên [0; 4], do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;{\rm{ }}4} \right]} y = y\left( 0 \right)\) = 2, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;{\rm{ }}4} \right]} y\) = y(4) = \(\frac{{14}}{5}\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất x (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số C(x) = 2x³ – 30x² + 177x + 2 592 (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?

Xem đáp án

Lời giải

Lợi nhuận xưởng thu được trong một ngày khi sản xuất x (kg) thành phẩm là:

P(x) = 513x – (2x³ – 30x² + 177x + 2 592) = −2x³ + 30x² + 336x – 2 592 với 0 ≤ x ≤ 20.

Ta có: P'(x) = −6x² + 60x + 336

P'(x) = 0 ⇔ x = 14 hoặc x = −4 (loại do −4 ∉ [0; 20]).

Ta có bảng biến thiên:

Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất x (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số C(x) = 2x^3 – 30x^2 + 177x + 2 592 (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là (ảnh 1)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;20} \right]} P\left( x \right) = P\left( {14} \right) = 2504\).

Vậy x = 14 kg.

Câu 2

Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng x (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm x để thể tích của hình hộp là lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Chiếc hộp sau khi gấp có cạnh đáy là: 12 – 2x (cm) với 0 < x < 6.

Thể tích của chiếc hộp lúc này là: V = x(12 – 2x)² với 0 < x < 6.

Ta có: V' = (12 – 2x)² – 4x(12 – 2x) = 12x² – 96x +144

V' = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 6 (loại do 6 ∉ (0; 6)).

Ta có bảng biến thiên:

Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng x (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm x để thể tích của hình hộp là lớn nhất. (ảnh 2)

Vậy thể tích chiếc hộp lớn nhất là 128 cm³ khi x = 2 (cm).

Câu 3