Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{4{x^2} - 2x + 9}}{{2x - 1}}\) trên khoảng (1; +∞);

b) \(y = \frac{{{x^2} - 2}}{{2x + 1}}\) trên nửa khoảng [0; +∞);

c) \(y = \frac{{9{x^2} + 3x + 7}}{{3x - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\);

d) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 3}}{{2x + 5}}\) trên đoạn [−2; 4].

a) \(y = \frac{{4{x^2} - 2x + 9}}{{2x - 1}}\) trên khoảng (1; +∞)

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{\left( {8x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right) - 2\left( {4{x^2} - 2x + 9} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{8{x^2} - 8x - 16}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ \(\frac{{8{x^2} - 8x - 16}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −1 (loại do −1∉ (1; +∞)).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = y\left( 2 \right)\) = 7, hàm số không có giá trị lớn nhất (1; +∞).

b) \(y = \frac{{{x^2} - 2}}{{2x + 1}}\) trên nửa khoảng [0; +∞)

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{2x\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{2}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) > 0,

với mọi x ∈ [0; +∞).

Ta có bản biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = y\left( 0 \right)\) = −2, hàm số không có giá trị lớn nhất trên [0; +∞).

c) \(y = \frac{{9{x^2} + 3x + 7}}{{3x - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\)

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{\left( {18x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right) - 3\left( {9{x^2} + 3x + 7} \right)}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{27{x^2} - 18x - 24}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\)

            y' = 0 ⇔ \(\frac{{27{x^2} - 18x - 24}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = \(\frac{4}{3}\) hoặc x = \(\frac{{ - 2}}{3}\) (loại do \(\frac{{ - 2}}{3}\) ∉ \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\)).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3};5} \right]} y = y\left( {\frac{4}{3}} \right)\) = 9, hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\).

d) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 3}}{{2x + 5}}\) trên đoạn [−2; 4]

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ { - \frac{5}{2}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{\left( {4x + 3} \right)\left( {2x + 5} \right) - 2\left( {2{x^2} + 3x - 3} \right)}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{4{x^2} + 20x + 21}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ \(\frac{{4{x^2} + 20x + 21}}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = \( - \frac{3}{2}\) hoặc x = \( - \frac{7}{2}\) (loại do \( - \frac{7}{2}\) ∉ [−2; 4]).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} y = y\left( { - \frac{3}{2}} \right)\) = \( - \frac{3}{2}\).