Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = \[\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 4}  - x} \right)\]. Từ đó, tìm \[\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}dx} \].

Một vật chuyển động thẳng dọc theo một đường thẳng (có gắn trục tọa độ Ox với độ dài đơn vị bằng 1 m). Biết rằng vật xuất phát từ vị trí ban đầu là gốc tọa độ và chuyển động với vận tốc v(t) = 8 – 0,4t (m/s), trong đó t là thời gian tính theo giây (t ≥ 0).

a) Xác định tọa độ x(t) của vật tại thời điểm t, t ≥ 0.

c) Tại thời điểm nào thì vật đi qua gốc tọa độ (không tính thời điểm ban đầu)?

Một quần thể vi sinh vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi

\[P'\left( t \right) = 150\sqrt t \] (cá thể/ngày) với 0 ≤ t ≤ 10,

trong đó P(t) là số lượng cá thể vi sinh vật tại thời điểm t ngày kể từ thời điểm ban đầu. Biết rằng ban đầu quần thể có 1 000 cá thể.

a) Xác định hàm số P(t).

b) Ước lượng số cá thể của quần thể sau 5 ngày kể từ thời điểm ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (1; 2) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm (x; f(x)) là \[\frac{{1 - x}}{{{x^2}}}\] với x > 0. Tìm hàm số f(x).

Tìm:

a) \[\int {\left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 1} \right)dx} \];

b) \[\int {{e^{ - 0,5x}}dx} \];

c) \[\int {{2^{x - 1}}{{.5}^{2x + 1}}dx} \].

Tìm:

a) \[\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}dx} \];

b) \[\int {\left( {1 + 3{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \];

c) \[\int {\frac{{2{{\cos }^3}x + 3}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \].

Tìm hàm số f(x), biết rằng:

a) f'(x) = 2x3 – 4x + 1, f(1) = 0;

b) f'(x) = 5cosx – sinx, \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\].