Cho hàm số f(x) có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \frac{{\sqrt x  - 1}}{x}\], x > 0. Tính giá trị của f(4) −  f(1).

Một vật đang ở nhiệt độ 100℃ thì được đặt vào môi trường có nhiệt độ 30℃. Kể từ đó, nhiệt độ của vật giảm dần theo tốc dộ

\[T'\left( t \right) =  - 140.{e^{ - 2t}}\] (℃/phút),

trong đó T(t) là nhiệt độ tính theo ℃ tại thời điểm t phút kể từ khi được đặt trong môi trường.
Xác định nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của ℃).

Sau khi được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng, một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 20 – 10t (m/s) với 0 ≤ t ≤ 4.

a) Xác định độ cao của vật (tính theo mét) tại thời điểm t = 3.

b) Tính quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu.

Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (−1; 3) và tiếp tuyến của đồ thị này tại mỗi điểm (x; f(x)) có hệ số góc là 3x² – 4x + 1. Tìm f(2).

Cho hàm số  \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2},{\rm{ }}x \le 1,\\\frac{1}{x},{\rm{ }}x > 1.\end{array} \right.\]

a) Chứng tỏ rằng hàn số f(x) liên tục trên ℝ.

b) Tính \[\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \].

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn \[\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx =  - 2} \];  \[\int\limits_0^5 {f\left( t \right)dt = 4} \]. Tính \[\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} \].

Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = \[\sqrt {4x + 1} \]. Từ đó, tính tích phân \[\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}dx} \].