Câu hỏi:

19/09/2024 1,561

Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = \[\sqrt {4x + 1} \]. Từ đó, tính tích phân \[\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}dx} \].

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có: F(x) = \[\sqrt {4x + 1} \]

           \[F'\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {4x + 1} }},x >  - \frac{1}{4}\].

Nhận thấy \[\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }} = \frac{{F'\left( x \right)}}{2}\].

Do đó \[\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{F'\left( x \right)}}{2}dx} \]

                                 \[ = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {F'\left( x \right)dx = \left. {\frac{1}{2}F\left( x \right)} \right|_0^1} \]

                                \[ = \frac{1}{2}\left[ {F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 5  - 1} \right).\]

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta có: \[\int\limits_0^3 {T'\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^3 {\left( { - 140{e^{ - 2t}}} \right)dt} \]

                           \[ =  - 140\int\limits_0^3 {{{\left( {{e^{ - 2}}} \right)}^t}dt} \]

                                        \[ = \left. {\frac{{ - 140{e^{ - 2t}}}}{{\ln {e^{ - 2}}}}} \right|_0^3 = 70\left( {{e^{ - 6}} - 1} \right)\].

Theo đề, T(0) = 100℃.

Ta có: T(3) – T(0) = 70(e−6 – 1) ⇒ T(3) = 100 + 70(e−6 – 1) ≈ 30,2℃.

Vậy nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi đặt vào môi trường là 30,2℃.

Lời giải

a) Kí hiệu h(t) là độ cao của vật (tính theo mét) tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 4).

Ta có:  h'(t) = v(t) và h(0) = 0.

Từ đó, \[h\left( 3 \right) - h\left( 0 \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right)dt = \int\limits_0^3 {\left( {20 - 10t} \right)dt} } \]

                                 \[ = \left. {\left( {20t - 5{t^2}} \right)} \right|_0^3 = 15{\rm{ }}\left( m \right).\]

Suy ra h(3) = 15 + h(0) = 15 + 0 = 15 (m).

b) Quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu là:

s = \[\int\limits_0^3 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt = } \int\limits_0^3 {\left| {20 - 10t} \right|dt} \]

  \[ = \int\limits_0^2 {\left( {20 - 10t} \right)dt + \int\limits_2^3 {\left( {10t - 20} \right)} } dt\]

  \[ = \left. {\left( {20t - 5{t^2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {5{t^2} - 20t} \right)} \right|_0^2\]  = 20 + 5 = 25 (m).


 

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP