Một vật đang ở nhiệt độ 100℃ thì được đặt vào môi trường có nhiệt độ 30℃. Kể từ đó, nhiệt độ của vật giảm dần theo tốc dộ

\[T'\left( t \right) =  - 140.{e^{ - 2t}}\] (℃/phút),

trong đó T(t) là nhiệt độ tính theo ℃ tại thời điểm t phút kể từ khi được đặt trong môi trường.
Xác định nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của ℃).

a) Kí hiệu h(t) là độ cao của vật (tính theo mét) tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 4).

Ta có:  h'(t) = v(t) và h(0) = 0.

Từ đó, \[h\left( 3 \right) - h\left( 0 \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right)dt = \int\limits_0^3 {\left( {20 - 10t} \right)dt} } \]

                                 \[ = \left. {\left( {20t - 5{t^2}} \right)} \right|_0^3 = 15{\rm{ }}\left( m \right).\]

Suy ra h(3) = 15 + h(0) = 15 + 0 = 15 (m).

b) Quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu là:

s = \[\int\limits_0^3 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt = } \int\limits_0^3 {\left| {20 - 10t} \right|dt} \]

  \[ = \int\limits_0^2 {\left( {20 - 10t} \right)dt + \int\limits_2^3 {\left( {10t - 20} \right)} } dt\]

  \[ = \left. {\left( {20t - 5{t^2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {5{t^2} - 20t} \right)} \right|_0^2\]  = 20 + 5 = 25 (m).

Theo giả thiết, ta có y = f(x) đi qua điểm (−1; 3) hay f(−1) = 3 và f'(x) = 3x2 – 4x + 1.

Ta có: f(2) – f(−1) = \[\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {3{x^2} - 4x + 1} \right)dx} \]

                              \[ = \left. {\left( {{x^3} - 2{x^2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^2 = 6\].

Suy ra f(2) – f(−1) = 6 hay f(2) – 3 = 6 suy ra f(2) = 9.